分數階微積分及其在無限分形介質反常擴散方程中的應用.pdf

1、本論文由彼此相關而又獨立的三章所組成.第一章為預備知識,簡要介紹了本文所需要的數學工具.在§1.1節(jié)中,簡要介紹了分數階微積分的發(fā)展歷史、基本概念及在與本文內容相關的幾個領域內的研究進展.給出了Riemann-Liouville型分數階微積分算予和Caputo型微積分算子的定義及主要性質.在§1.2節(jié)中,給出了幾類特殊函數,包括Besscl函數、Mittag-Le(ffl)er函數、H-Fox函數和廣義H-Fox函數的定義及其某些重要公

2、式.在§1.3節(jié)中,介紹了分數階微積分的Fourier變換,Laplace變換,以及Hankcl變換.本章是以后各章的基礎.
　　 第二章,將分形介質中時間分數階Fick定律J(r,t)=D▽-1λt(▽)P(r,t),(1)代入分形介質連續(xù)性方程1/rdf-1·a/ar(rdf-1J)=-aP(r,t)/at(2)并考慮到吸附項(或源項)的存在得如下無限分形介質中含有分數階振子的分數階反應擴散方程aλP(r,t)/atλ=D/

3、rdf-1·a/ar(rdf-1-θaP(r,t)/ar)-α/(Γ(β)∫to(t-t')β-1(r,t')dt',(3)引入初邊條件P(r,O)=δ(r-ro)),(4)P(O,t)=P(+∞,t)=0,(5)其中P(r,t)為濃度分布,1≤df≤3為分形維數,反映了復雜形體占有空間的有效性,它是復雜形體不規(guī)則性的量度,O＜λ≤1,O＜β≤1,aλ/atλ為Caputo分數階微分算子.為了求解方程,我們引入了廣義H-函數,利用Lap

4、lace變換,雙H-函數的Hankel變換及廣義H-函數理論,求解出了該類問題以廣義H-函數表示的解的解析表達式()
　　 第三章在第二章的基礎上將初始條件做了擴展,考慮更加廣泛的初始條件aiP(r,t)/ati|t=0=Pi(r),i=0,1,,m-1,t=0,(7)在此基礎上對方程進行求解,并將得到的解的積分表達式P(r,t)=m-1∑i=0∞∑n=0∫∞0kyvJv(ky)~Fi(k)(-α)n/n!tλn+βn+iE(n