高等數(shù)學2知識點總復習

1、高等數(shù)學總復習,知識點1. 數(shù)量積、向量積、夾角余弦；,知識點1. 數(shù)量積、向量積、夾角余弦；,//,//,解,解,,知識點2：平面及其方程（三種形式）,平面的點法式方程:,平面的一般方程:,平面的截距式方程:,兩平面夾角余弦公式:,//,取法向量,化簡得,所求平面方程為,解,設平面為,,由所求平面與已知平面平行得,（向量平行的充要條件）,解,化簡得,所求平面方程為,知識點3：空間直線及其方程,空間直線的一般方程:,直線的參數(shù)方程:,直

2、線的對稱式方程:,^,兩直線的夾角公式,平面:,垂直：,平行：,夾角公式：,直線:,,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,知識點3：空間直線及面線間的關(guān)系方程,例. 求直線,與平面,的交點 .,提示: 化直線方程為參數(shù)方程,代入平面方程得,從而確定交點為（1，2，2）.,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,? 所求直線方程,方法2:設,練習: 設有直線,與,則L1與L2的夾角為,[注]

3、 L1和L2的方向向量分別為 和,知識點4：二元函數(shù)的定義域與極限,例6 求 的定義域．,解,所求定義域為,例7 求極限,解,其中,求極限:,知識點5：二元函數(shù)求偏導數(shù)；,多元復合函數(shù)鏈式法則:,特殊地,即,令,其中,,,,兩者的區(qū)別,區(qū)別類似,,例,解:,機動 目錄 上

4、頁 下頁 返回 結(jié)束,,,例.,設F( x , y)具有連續(xù)偏導數(shù),,解 利用偏導數(shù)公式.,確定的隱函數(shù),,,則,已知方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,故,,多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系,（A）充分條件而非必要條件,（B）必要條件而非充分條件,（C）充分必要條件,（D）既非充分條件又非必要條件,(A) 連續(xù)、偏導數(shù)存在,（B）連續(xù)、偏導數(shù)不存在,(C) 不連續(xù)、偏導數(shù)存在,（D）不連續(xù)、

5、偏導數(shù)不存在,偏導數(shù)存在，又當（x，y）沿y=kx趨向于（0，0）時,隨著k的不同，該極限值也不同，所以極限 不存在，f(x，y)在（0，0）不連續(xù)。,解,解,解,令,記,同理有,于是,解,令,練習:設,,求,解,令,則,知識點6：多元函數(shù)微分學的幾何應用,1.曲線切線方程:,2.曲線的法平面：,3.切平面方程:,4.曲面的法線方程為:,解,切平面方程為,法線方程為,,5.方向?qū)?shù)與梯度,（

6、歸納）： 求曲線的切線及法平面,(關(guān)鍵: 抓住切向量),求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵: 抓住法向量),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,求函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度,一、方向?qū)?shù),設函數(shù)z?f(x, y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? 與l同方向的單位向量為el?(cos?? cos?)?,存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x,

7、 y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù), 記為,取P(x0?tcos?? y0?tcos?)?U(P0)? 如果極限,方向?qū)?shù),一、方向?qū)?shù),設函數(shù)z?f(x, y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? 與l同方向的單位向量為el?(cos?? cos?)?,方向?qū)?shù),方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?,一、方向?qū)?shù),設函數(shù)z

8、?f(x, y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? 與l同方向的單位向量為el?(cos?? cos?)?,方向?qū)?shù),如果函數(shù)z?f(x, y)在點P0(x0? y0)可微分, 那么函數(shù)在該點沿任一方向l (el?(cos?? cos?))的方向?qū)?shù)都存在, 且有,定理(方向?qū)?shù)的計算),>>>,,討論? 函數(shù)f(x,

9、y)在點P沿x軸正向和負向, 沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何?,提示?,函數(shù)f(x, y)在點P0沿方向l (el?(cos?? cos?))的方向?qū)?shù)?,例 求f(x? y? z)?xy2?z3?xyz在點(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60??,解,與l同向的單位向量為,因為函數(shù)可微分? 且,所以,fx(1? 1? 2)?(y2-yz)|(1? 1? 2)?-1?,fy(1? 1? 2

10、)?(2xy-xz)|(1? 1? 2)?0?,fz(1? 1? 2)?(3z2-xy)|(1? 1? 2)?11?,二、梯度,梯度的定義,函數(shù)z?f(x, y)在點P0(x0? y0)的梯度: gradf(x0? y0)?fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?,梯度與方向?qū)?shù),如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos?? cos?)是與方向l同方向的單位向量, 則,?gradf(x0? y0)

11、?el?|gradf(x0? y0)|?cos(gradf(x0? y0),^el)?,函數(shù)在一點的梯度是這樣一個向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.,二、梯度,梯度的定義,函數(shù)z?f(x, y)在點P0(x0? y0)的梯度: gradf(x0? y0)?fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?,梯度與方向?qū)?shù),?|gradf(x0? y0)|?cos(gradf(x0? y0),^

12、el)?,如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos?? cos?)是與方向l同方向的單位向量, 則,例 求 grad ．,解 這里 f (x，y) ? ．,因為,，,，,所以 grad,．,例 設 f (x，y，z) ? x3－xy2－z ， 求grad f (1,1,0)．,解 grad f ?(fx，fy，fz ) ? (

13、 3x2－y2, －2xy, －1 )，于是 grad f (1，1，0) ? (2, ?2,－1)．,函數(shù)在此點沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值為3.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,函數(shù)在此點沿方向(-2,2,1)減少率最大,其值為-3.,說明: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 .,例如,,定理1 (必要條件),函數(shù),偏導數(shù),,但駐點不一定是極值點.,有駐點( 0, 0 ),,但在該點不取極值

14、.,且在該點取得極值 ,,則有,存在,知識點7：多元函數(shù)的極值及其求法,,例.,求函數(shù),解: 第一步 求駐點.,得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) .,第二步 判別.,在點(1,0) 處,為極小值;,解方程組,,,,的極值.,求二階偏導數(shù),,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在點(?3,0) 處,不是極值;,在點(?3,2) 處,為極大值.,在點(1,2

15、) 處,不是極值;,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,解,則,? 2x=3y, y=2z,知識點8：二重積分的性質(zhì)與計算,性質(zhì)１,當 為常數(shù)時，,性質(zhì)２,性質(zhì)３,對區(qū)域具有可加性,性質(zhì)4,若在D上,則有,性質(zhì)5,性質(zhì)6,二重積分的計算,1. 二重積分化為累次積分的方法,直角坐標系情形 :,若積分區(qū)域為,則,若積分區(qū)域為,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,先確定積分次序(先看被積函數(shù),再看

16、被積區(qū)域D)先積后定限,限內(nèi)畫條線,先交為下限,后交上限寫.,,,,解,積分區(qū)域如圖,則,2.極坐標系情形: 若積分區(qū)域為,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,則,⑵,⑴,例 . 計算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域.,解: 由被積函數(shù)可知,,因此取D 為X – 型域 :,先對 x 積分不行,,說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,,三重

17、積分的計算方法,方法1. “先一后二” (投影法),方法2. “先二后一” (截面法),方法3. “三次積分”,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,1.直角坐標情形:,2.不同坐標系的三重積分,積分區(qū)域多由坐標面,被積函數(shù)形式簡潔, 或,變量可分離.,圍成 ;,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,其中,其中,其中?為由,例. 計算三重積分,所圍,解: 在柱面坐標系下,及平面,柱面,

18、,成半圓柱體.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,知識點9：重積分的應用,（1）平面區(qū)域的面積,（2）曲面的面積,例. 計算雙曲拋物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影為,則,出的面積 A .,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,知識點10：兩類曲線積分及格林公式,例16,解,例17,解,第二類曲線積分幾種特殊情形的計算:,曲線積分,第一類 ( 對弧長 ),第二類 ( 對坐標 )

19、,(1) 統(tǒng)一積分變量,定積分,用參數(shù)方程,用直角坐標方程,用極坐標方程,(2) 確定積分上下限,第一類: 下小上大,第二類: 下始上終,,,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,兩類曲線積分之間的聯(lián)系：,平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件,定理. 設D 是單連通域 ,,在D 內(nèi),具有一階連續(xù)偏導數(shù),,(1) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有,(2) 對D 中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分,(3),(4)

20、在 D 內(nèi)每一點都有,與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān).,函數(shù),則以下四個條件等價:,在 D 內(nèi)是某一函數(shù),的全微分,,即,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,定理證明采用⑴→⑵→⑶→⑷,解,,例. 計算曲線積分,其中?為螺旋,的一段弧.,解:,線,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例. 計算,其中L為一無重點且不過原點,的分段光滑正向閉曲線.,解: 令,設 L 所圍區(qū)域為D,,由格林公式知,,機

21、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,在D 內(nèi)作圓周,取逆時,針方向,,, 對區(qū)域,應用格,記 L 和 lˉ 所圍的區(qū)域為,林公式 , 得,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,例. 驗證,是某個函數(shù)的全微分, 并求,出這個函數(shù).,證: 設,則,由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使,。,。,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,知識點11：兩類曲面積分及高斯公式,則,

22、則,則,兩類曲面積分之間的聯(lián)系,知識點:常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散條件收斂與絕對收斂,結(jié)論: 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.,結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.,比較判別法:,可作為參考的級數(shù): 幾何級數(shù), P-級數(shù)(包括調(diào)和級數(shù)).,比值判別法:,根式判別法:,例 求下列冪級數(shù)的收斂域:,2.和函數(shù)的運算性質(zhì):,冪級數(shù)求和與函數(shù)展開成冪級數(shù),,求和,2. 映射變換法,,逐項求導或求積分,,,對和式積分或求

23、導,,,1. 初等變換法: 先求部分和極限,再分解(裂項相消法),最后套用收斂的等比級數(shù)的求和公式等方法;,（在收斂區(qū)間內(nèi)）,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,,? 直接展開法,? 間接展開法,— 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì),— 利用泰勒公式,3. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法,例. 求冪級數(shù),的和函數(shù),解: 易求出冪級數(shù)的收斂半徑為 1 ,,,收斂 ,,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,因此由和