第二章 泊松過程

1、1,第二章 泊松過程,泊松過程定義泊松過程的數(shù)字特征時間間隔分布、等待時間分布及到達時間的條件分布復合泊松過程非齊次泊松過程濾過泊松過程,2,計數(shù)過程：稱隨機過程{N(t),t≥0}為計數(shù)過程，若N(t)表示到時刻t為止已發(fā)生的“事件A”的總數(shù)，且N(t)滿足下列條件： N(t) ≥0; N(t)取正整數(shù)值； 若s<t，則N(s) ≤N(t)； 當s<t時，N(t)-N(s)等于區(qū)間(s,t]中發(fā)生的“事

2、件A”的次數(shù)。,計數(shù)過程N(t)是獨立增量過程,如果計數(shù)過程在不相重疊的時間間隔內，事件A發(fā)生的次數(shù)是相互獨立的。,計數(shù)過程N(t)是平穩(wěn)增量過程,若計數(shù)過程N(t)在(t,t+s]內（S>0），事件A發(fā)生的次數(shù)N(t+s)-N(t)僅與時間差s有關，而與t無關。,3,泊松過程定義1：稱計數(shù)過程{X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ>0的泊松過程，若它滿足下列條件：1、X(0)=0；2、X(t)是獨立增量過程；3、在任一長

3、度為t的區(qū)間中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)λ>0的泊松分布，即對任意s,t≥0，有,泊松過程同時也是平穩(wěn)增量過程,表示單位時間內事件A發(fā)生的平均個數(shù)，故稱為過程的速率或強度,4,泊松過程定義2：稱計數(shù)過程{X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ>0的泊松過程，若它滿足下列條件： X(0)=0； X(t)是獨立、平穩(wěn)增量過程；X(t)滿足下列兩式：,例如：電話交換機在一段時間內接到的呼叫次數(shù)；火車站某段時間內購買車票的旅客數(shù)

4、；機器在一段時間內發(fā)生故障的次數(shù)；保險的理賠,5,定理 ：定義1和定義2是等價的。,例子：設交換機每分鐘接到電話的次數(shù)X(t)是強度為λ的泊松過程。求兩分鐘內接到3次呼叫的概率。第二分鐘內接到第3次呼叫的概率。,6,泊松過程的數(shù)字特征,設{X(t),t≥0}是泊松過程，對任意的t,s∈[0, ∞)，且s<t，有,由于X(0)=0，所以,一般情況下，泊松過程的協(xié)方差函數(shù)可表示為,7,泊松過程的無記憶性：設{X(t),t≥

5、0}為具有參數(shù)λ的泊松過程，假定S是相鄰事件的時間間隔，求P{S>s1+s2|S>s1}。即假定最近一次事件A發(fā)生的時間在s1時刻，下一次事件A發(fā)生的時間至少在將來s2時刻的概率。,8,時間間隔的分布,設{N(t),t≥0}是泊松過程，令N(t)表示t時刻事件A發(fā)生的次數(shù)，Tn表示從第（n-1）次事件A發(fā)生到第n次事件A發(fā)生的時間間隔。,9,定理：設{X(t),t≥0}為具有參數(shù)λ的泊松過程，{Tn,n≥1}是對應的時間

6、間隔序列，則隨機變量Tn是獨立同分布的均值為1/λ的指數(shù)分布。,對于任意n=1,2, …事件A相繼到達的時間間隔Tn的分布為,概率密度為,10,等待時間的分布,等待時間Wn是指第n次事件A到達的時間分布,因此Wn是n個相互獨立的指數(shù)分布隨機變量之和。,11,定理：設{Wn,n≥1}是與泊松過程{X(t),t≥0}對應的一個等待時間序列，則Wn服從參數(shù)為n與λ的Г分布，其概率密度為,例：已知儀器在[0，t]內發(fā)生振動的次數(shù)X(t)是具有

7、參數(shù)λ的泊松過程，若儀器振動k（k>=1）次就會出現(xiàn)故障，求儀器在時刻t0正常工作的概率。,12,到達時間的條件分布,假設在[0,t]內時間A已經(jīng)發(fā)生一次，我們要確定這一事件到達時間W1的分布。,泊松過程,,平穩(wěn)獨立增量過程,可以認為[0,t]內長度相等的區(qū)間包含這個事件的概率應該相等，或者說，這個事件的到達時間應在[0,t]上服從均勻分布。對于s<t有,分布函數(shù),分布密度,13,定理：設{X(t),t≥0}是泊松過程，已

8、知在[0,t]內事件A發(fā)生n次，則這n次到達時間W1<W2, …<Wn與相應于n個[0,t]上均勻分布的獨立隨機變量的順序統(tǒng)計量有相同的分布。,例題設在[0,t]內事件A已經(jīng)發(fā)生n次，且0<s<t，對于0<k<n，求P{X(s)=k|X(t)=n},例題設在[0,t]內事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k(k<n)次事件A發(fā)生的時間Wk的條件概率密度函數(shù)。,1、設{X(t),t≥0}是泊松過程，在給定

9、[0,t]內事件A發(fā)生n次的條件下，這n次到達時間W1，W2, …，Wn ，每一個都是U[0,t]的一個樣本，且相互獨立。2、若不考慮其大小順序，其分布就如n個獨立的均勻隨機變量U[0,t]，如,到達時間的條件分布的說明,3、如果我們有一組n個獨立均勻分布U[0,t]隨機變量的觀測值，將其按大小排列，則可以將其視為給定X(t)=n的齊次泊松過程的n個到達點，是一種產(chǎn)生齊次泊松過程的方法,15,例題設{X1 (t),t ≥0}和{X2

10、 (t),t ≥0}是兩個相互獨立的泊松過程，它們在單位時間內平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為λ1和λ2，記 為過程X1(t)的第k次事件到達時間， 為過程X2(t)的第1次事件到達時間，求,例題有線電視公司從客戶簽約時刻起開始收費，每單位時間收費1元，設簽約客戶為參數(shù)為λ的泊松過程，求公司在(0，t]時間段內的平均總收入。,16,非齊次泊松過程,允許時刻t的來到強度是t的函數(shù),定義：稱計數(shù)過程{X(t),t≥0}為具有跳躍

11、強度函數(shù)λ(t)的非齊次泊松過程，若它滿足下列條件： X(0)=0； X(t)是獨立增量過程；,非齊次泊松過程的均值函數(shù)（積分強度函數(shù)）為,17,定理：設{X(t),t≥0}為具有均值函數(shù) 非齊次泊松過程，則有,或,18,到達時間的條件分布,19,例題設{X(t),t≥0}是具有跳躍強度

12、 的非齊次泊松過程（ω≠0），求E[X(t)]和D[X(t)]。,例題設某路公共汽車從早上5時到晚上9時有車發(fā)出，乘客流量如下：5時按平均乘客為200人/時計算；5時至8時乘客平均到達率按線性增加，8時到達率為1400人/時；8時至18時保持平均到達率不變；18時到21時從到達率1400人/時按線性下降，到21時為200人/時。假定乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內是相互獨立的。求12時至14時有2000人來站乘車的概率，并求這

13、兩個小時內來站乘車人數(shù)的數(shù)學期望。,20,復合泊松過程,定義：設{N(t),t≥0}是強度為λ的泊松過程，{Yk,k=1,2,…}是一列獨立同分布隨機變量，且與{N(t),t≥0}獨立，令,則稱{X(t),t≥0}為復合泊松過程。,N(t),Yk,X(t),在時間段(0,t]內來到商店的顧客數(shù),第k個顧客在商店所花的錢數(shù),該商店在(0,t]時間段內的營業(yè)額,21,定理設

14、 是復合泊松過程，則 {X(t), t≥0}是獨立增量過程； X(t)的特征函數(shù) ，其中 是隨機變量Y1的特征函數(shù)，λ是時間的到達率； 若E(Y12)<∞，則,例題：結巴（stuttering）泊松過程對于一個復合泊松過程，如果Yn服從幾何分布：,23,泊松過程的分解,例題設到達某商場的顧客組成強度為λ的泊松過程，每個顧客

15、購買商品的概率為p，且與其他顧客是否購買商品無關，若{X( t )，t≥0}為購買商品的顧客數(shù)，證明{X( t )，t≥0}是強度為λ p的泊松過程。,泊松過程的分解：強度為λ的泊松過程，事件A在時刻s到達，則此到達可分解成概率為P(s)的type-1到達和概率為1- P(s) 的type-2到達，用{Ni ( t ) ，t≥0}，i=1,2，表示type-i在時間(0,t]的達到次數(shù)，則有,24,泊松過程的分解可推廣到n個類型，用P

16、i(s)表示type-i在時刻s達到的概率，定義：則{Ni ( t ) ，t≥0}為參數(shù)λ pi的泊松分布，且{Ni ( t )}相互獨立,例：某沙灘汽車的到達服從指數(shù)為λ的泊松過程，汽車在沙灘的逗留時間分布為G(s)，假定各汽車逗留時間之間，以及逗留時間與到達時間之間相互獨立，用N1 ( t ) 表示時刻t離開沙灘的汽車數(shù)量， N2 ( t ) 表示時刻t仍然在沙灘上的汽車數(shù)量，則N1 ( t ) 和 N2 ( t ) 是一個