知識要點-直線與圓的位置關系

1、第4講直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系★知識梳理★★知識梳理★1.判斷直線與圓的位置關系有兩種方法：①幾何法：通過圓心到直線的距離與半徑的大小比較來判斷，設圓心到直線的距離為，d圓半徑為，若直線與圓相離，則；若直線與圓相切，則；若直線與圓相交，rrd?rd?則②代數法：通過直線與圓的方程聯立的方程組的解的個數來判斷，即通過判別式rd?來判斷，若，則直線與圓相離；若，則直線與圓相切；若，則直線與圓0??0??0??相交2.兩圓的的位置

2、關系(1)設兩圓半徑分別為，圓心距為d12rr若兩圓相外離，則，公切線條數為4rRd??若兩圓相外切則，公切線條數為3rRd??若兩圓相交，則，公切線條數為2rRdrR????若兩圓內切，則，公切線條數為1rRd??若兩圓內含，則，公切線條數為0rRd??(2)設兩圓，，若兩0:111221?????FyExDyxC0:222222?????FyExDyxC圓相交，則兩圓的公共弦所在的直線方程是0)()()(212121??????FF

3、yEExDD3.相切問題的解法：①利用圓心到切線的距離等于半徑列方程求解②利用圓心、切點連線的斜率與切線的斜率的乘積為1③利用直線與圓的方程聯立的方程組的解只有一個，即來求解。0??特殊地已知切點圓的切線方程為)(00yxP222ryx??200ryyxx??圓的切線方程為222)()(rbyax????200))(())((rbybyaxax??????4.圓系方程①以點為圓心的圓系方程為)(00yxC)0()()(22020????

4、?rryyxx②過圓和直線的交點的圓系方程為0:22?????FEyDxyxC0:???cbyaxlFEyDxyx????220)(????cbyax?③過兩圓，的交點的0:111221?????FyExDyxC0:222222?????FyExDyxC(2)求四邊形的面積的最小值QAMB(3)若，求直線的方程324?ABMQ【解題思路】【解題思路】(2)用一個變量表示四邊形的面積(3)從圖形中觀察點滿足的條件QAMBQ解析：（1）設過

5、點的圓的切線方程為，則圓心到切線的距離為1，QM1??myxM或0，切線、的方程分別為和?3411|12|2??????mmm?QAQB0343???yx1?x（2），AQMA??3112222???????????MOMQMAMQQAQAMASMAQB（3）設與交于點，則ABMQPMQMBABMP??，在中，，31)322(12???MPMBQRt?MQMPMB??2即MQ311?3??MQ設，則)0(xQ)05(59222?????

6、?Qxx直線的方程為或?MQ05252???yx05252???yx【名師指引】【名師指引】轉化是本題的關鍵，如：第2問把切線長轉化為圓外一點到圓心的距離；第3問把弦長轉化為圓心到弦所在直線的距離，再利用射影定理轉化為圓外一點到圓心的Q距離。弦長、切線長問題經常要這種轉化[例3]已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m1）x（m1）y－7m－4（m∈R）.（1）證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點；（2）求直線