4一元積分學的幾何應用與重積分計算-(1)

1、1一元微積分的幾何綜合應用與重積分計算一元微積分的幾何綜合應用與重積分計算一、考試內容一、考試內容（一）一元積分學的幾何應用（一）一元積分學的幾何應用1、平面圖形的面積()()()[()()]baDXDxyaxbgxyfxSdxdyfxgxdx???????????型區(qū)域的面積為()()()()bayfxygxxaxbaSfxgxdx????????由曲線與直線所圍圖型的面積為()()()[()()]dcDYDxygyxfycydSdx

2、dyfygydy???????????型區(qū)域的面積為()()()()dcxfyxgyycydcSfygydy????????由曲線與直線所圍圖型的面積為221()()()[()()]2DDgfSddfgd????????????????????????????型區(qū)域的面積為2、旋轉體體積22()0()()[()()]bxaXDxyaxbgxyfxxVfxgxdx?????????型區(qū)域繞軸旋轉一周的=22()0()0()()bxayfx

3、ygxxaxbaxVfxgxdx??????????所圍圖形繞軸旋轉一周的=22()0()()[()()]dycYDxygyxfycydyVfygydy?????????型區(qū)域繞軸旋轉一周的=22()0()0()()dycxfyxgyycydcyVfygydy??????????所圍圖形繞軸旋轉一周的=()0()()2[()()]byaXDxyaxbgxyfxyVxfxgxdx?????????型區(qū)域繞軸旋轉一周的=()()02()()

4、byayfxygxxaxbayVxfxgxdx?????????所圍圖形繞軸旋轉一周生成的=()()()02[()()]dxcYDxygyxfycydxVyfygydy?????????型區(qū)域繞軸旋轉一周的=()()02()()dxcxfyxgyycydcxVyfygydy?????????所圍圖形繞軸旋轉一周的=22()()()[()][()]baDxyaxbkgxyfxykVfxkgxkdx????????????繞旋轉一周的=22

5、()()[()][()]bayfxkygxkxaxbaykVfxkgxkdx?????????????所圍圖形繞旋轉一周的=()()()2()[()()]baDxykaxbgxyfxxkVxkfxgxdx???????????繞旋轉一周的=注：利用注：利用平面圖形的面積與旋轉體體積公式時，有時可借助參數方程或極坐標表示xy3、曲線的弧長22:()()[]()()btLaLxftygttabLdsftgtdt???????的弧長=22:(

6、)[]()()LLfLdsffd?????????????????的弧長=4、旋轉體的側面積2:()0[]2()2()1()bxLaLyfxxabxSfxdsfxfxdx?????????繞軸旋轉一周的側面積=()()()0()()2()()xyfxygxDxyaxbgxyfxxSfxdsgxds????????????繞軸旋轉一周的=222[()1()()1()]bafxfxgxgxdx??????32()(sincossinsinc

7、os)sinfxyzdvfrrrrdrdd?????????????????二、二、一元微積分的幾何綜合應用一元微積分的幾何綜合應用典型例題典型例題例1、是奇函數，除外處處連續(xù)，是其第一類間斷點，則是()fx0x?0x???0xftdt?（B）（A）連續(xù)奇函數（B）連續(xù)偶函數（C）在x=0間斷的奇函數（D）在x=0間斷的偶函數例2、如圖，在上有連續(xù)的導數，則定積分()??fx[0]a??0axfxdx???C（A）曲邊梯形ABOD面積（

8、B）梯形ABOD面積（C）曲邊三角形ACD面積（D）三角形ACD面積例3、設D是由曲線是由曲線，直線，直線及軸所轉成的平面圖形，軸所轉成的平面圖形，分別分別3xy?ax?)0(?axyxVV是D繞軸和軸和軸旋轉一周所形成的立體的體積，若軸旋轉一周所形成的立體的體積，若，則，則xyyxVV?1077a?提示：，253035axVydxa?????7302()67ayVxfxdxa?????例4、求曲線的全長.??xdtty8sinS解：，

9、而.??32??xxxysin)(???32214Sydy??????例5、設，求其所示曲線與直線及軸，軸圍成的區(qū)域繞軸旋221()txfxedt???1x?xyy轉一周生成的旋轉體體積V解：111221200002()()[()]()Vxfxdxfxdxxfxxdfx????????????1(1)2e???例6、求曲線和所圍圖形的面積及其繞極軸旋轉一周的)cos1(4???r20?????SxV.解：24(1cos)220008(1

10、cos)616DSddrdrd????????????????????.8022202sincosxVydxrdr???????????160)21()1()1(1022cos???????dttttt例7、某曲線以極坐標可表示為，1(3)?????則其在處的切線的直角坐標方程為.()(10)????330xy????則其斜漸近線的直角坐標方程為.（注意僅時，）323yx??3???x??例8、已知拋物線上任一點處的曲率半徑為，是該拋物