2013年福建高中數學競賽

1、120132013年福建省高中數學競賽年福建省高中數學競賽暨20132013年全國高中數學聯賽（福建省賽區(qū)）預賽試卷參考答案年全國高中數學聯賽（福建省賽區(qū)）預賽試卷參考答案（考試時間：（考試時間：20132013年9月7日上午日上午9：0000－1111：3030，滿分，滿分160160分）分）一、填空題（共一、填空題（共1010小題，每小題小題，每小題6分，滿分分，滿分6060分。請直接將答案寫在題中的橫線上）分。請直接將答案寫在題中

2、的橫線上）1已知數列滿足，（），則的最小值??na132a?12nnaan???nN?nan為?！敬鸢浮俊敬鸢浮?13【解答】【解答】由，知，132a?12nnaan???，，……，，。12(1)nnaan????122(2)nnaan?????2121aa???132a?上述個等式左右兩邊分別相加，得。n(1)32nann???∴，又時，；時，。321nannn???5n?525nan?6n?313nan?∴時，取最小值。6n?nan

3、3132對于函數，，若對任意的，存在唯一的，使得()yfx?xD?1xD?2xD?，則稱函數在上的幾何平均數為。已知，12()()fxfxM?()fxDM32()1fxxx???，則函數在上的幾何平均數。??12x?，32()1fxxx?????12，M?【答案】【答案】5【解答】【解答】∵當時，，12x??2()32(32)0fxxxxx??????∴在區(qū)間上為增函數，其值域為。32()1fxxx?????12，??15，∴根據函數幾

4、何平均數的定義知，。()fx5M?3若三個非零且互不相等的實數、、滿足，則稱、、是調和的；abc112abc??abc若滿足，則稱、、是等差的。已知集合，集合2acb??abc??2013MxxxZ???，P是集合的三元子集，即。若集合中元素、、既是調和的，又是M??PabcM??，，Pabc等差的，則稱集合為“好集”。則不同的“好集”的個數為。P【答案】【答案】1006【解答】【解答】若、、既是調和的，又是等差的，則，，。abc112

5、2abcacb?????????2ab??4cb?即“好集”為形如（）的集合。??24bbb?，，0b?3【解答】【解答】設正十邊形為。則1210AAA?以為底邊的梯形有、、共3個。同理分別以、12AA12310AAAA1249AAAA1258AAAA23AA、、…、、為底邊的梯形各有3個。這樣，合計有30個梯形。34AA45AA910AA101AA以為底邊的梯形有、共2個。同理分別以、、13AA13410AAAA1359AAAA24A

6、A35AA46AA、…、、為底邊的梯形各有2個。這樣，合計有20個梯形。91AA102AA以為底邊的梯形只有1個。同理分別以、、、…、、14AA14510AAAA25AA36AA47AA92AA為底邊的梯形各有1個。這樣，合計有10個梯形。103AA所以，所求的概率。41030201027PC????7方程在區(qū)間內的所有實根之和為。1sin222xxx??????????????????02?，（符號表示不超過的最大整數）。??xx【答

7、案】【答案】12【解答】【解答】設，則對任意實數，。222xxx??????????????x012x????????原方程化為。1sin22xx???????????????①若，則，（）。1022x????????1sin022xx????????????????xk???kZ?∴（）。結合知，，1，2，3，4，5，6。xk?kZ???02x??，0x?經檢驗，，2，4，6符合要求。0x?②若，則，（）。1122x????????1

8、sin122xx????????????????122xk?????kZ?∴（）。結合知，，，。122xk??kZ???02x??，12x?5292經檢驗，，，均不符合要求。12x?5292∴符合條件的為0，2，4，6，它們的和為12。x8已知為上增函數，且對任意，都有，則()fxRxR?()34xffx??????(2)f??！敬鸢浮俊敬鸢浮?0【解答】【解答】依題意，為常數。設，則，。()3xfx?()3xfxm??()4fm?()