勾股定理知識點與常見題型總結

1、勾股定理復習一知識歸納１勾股定理：１勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么abc222abc??２.勾股定理的證明勾股定理的證明，常見的是拼圖的方法①圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理常見方法如下：方法一：，，化簡可證4EFGHSSS???正方形正方形ABCD2214()2abbac?

2、???方法二：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為221422Sabcabc?????大正方形面積為所以222()2Sabaabb?????222abc??方法三：，，化簡得證1()()2Sabab????梯形2112S222ADEABESSabc???????梯形３.勾股定理的適用范圍：勾股定理的適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關系，它只適用于直角三角

3、形，因而在應用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形４.勾股定理的應用：勾股定理的應用：勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關系的證明問題在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊。在中，，則，，ABC?90C?

4、??22cab??22bca??22acb??②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關系③可運用勾股定理解決一些實際問題５.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊。abc222abc??c①勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小兩小邊的平方和的平方和與較長邊較長邊的平方的平方作比

5、較，若它們相等時，以，，22ab?2cab為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，c222abc??abc222abc??以，，為三邊的三角形是銳角三角形；abc②定理中，，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足abc222abc??abc，那么以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊222acb??abcb③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩條

6、直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形６.勾股數(shù)勾股數(shù)①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，222abc??abcab為一組勾股數(shù)c②記住常住常見的勾股數(shù)可以提高解的勾股數(shù)可以提高解題速度速度，如；；；等34568105121372425③用含字母的代數(shù)式表示勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（，為正整22121nnn??2n?n22222mnmnmn??mn?mn數(shù)）常見圖形：ABC30DCBAADBC

7、CBDAcbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA【變式】1.如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程2.如圖1，長方體的長為12cm，寬為6cm，高為5cm，一只螞蟻沿側面從點向點爬行，AB問：爬到點時，螞蟻爬過的最短路程是多少？B3.如圖壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方

8、油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進行突然襲擊請問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲解題步驟歸納：1、標已知，標問題（邊長的問題一般有什么方法解決？），明確目標在哪個直角三角形中，設適當?shù)奈粗獢?shù)x；2、利用折疊，找全等。3、將已知邊和未知邊（用含x的代數(shù)式表示）轉化到同一直角三角形中表示出來。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。類型四：利

9、用勾股定理作長為類型四：利用勾股定理作長為的線段的線段1、作長為、、的線段。舉一反三舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示的點。類型五：勾股定理逆定理類型五：勾股定理逆定理7、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2b2c250=6a8b10c，判斷ΔABC的形狀。舉一反三舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積?！咀兪?】已知:△ABC的三邊分別為m2－n22mnm

10、2n2(mn為正整數(shù)且m＞n)判斷△ABC是否為直角三角【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。請問FE與DE是否垂直請說明。類型六：與勾股定理有關的圖形問題類型六：與勾股定理有關的圖形問題1.如圖，是由四個大小完全相同的直角三角形拼合而成的，若圖中大小正方形的面積分別為62.5和4，求直角三角形兩直角邊的長。2如圖，直線l經(jīng)過正方形ABCD的頂點B，點A、C到直線l的距離分別是1、2，則正方形的邊長是