數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用【畢業(yè)設計】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設計</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與應用數(shù)學

2、 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b></p>&

3、lt;p>　　【摘要】近年來，數(shù)學與經(jīng)濟學之間的結合越來越緊密，數(shù)學已經(jīng)成為經(jīng)濟學里面的重要分析工具之一，是經(jīng)濟學精準化和客觀化的重要體現(xiàn)。</p><p>　　本文擬重點通過建立數(shù)學經(jīng)濟模型，探究數(shù)學的動態(tài)分析在經(jīng)濟最優(yōu)化問題中的應用，并借此來闡述和驗證數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用。同時，也比較了動態(tài)分析與其他諸如靜態(tài)分析、靜態(tài)均衡分析方法等在經(jīng)濟學中的應用的一些差異。本文的最后論述了數(shù)學在經(jīng)濟學中的局限性，論述

4、了經(jīng)濟數(shù)學化下的走向。</p><p>　　【關鍵詞】數(shù)學；經(jīng)濟學；應用；動態(tài)分析；最優(yōu)化</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】In recent years, the combination of mathematics and economics is more and more c

5、losely, mathematics has become one of an important analytical tools in economics . It reflects the economics of precision and objective.</p><p>　　This paper through the establishment of mathematical economi

6、c models to explore the application about dynamic analysis of mathematics,which is in the economic optimization, and it sets out and verify the application of mathematics in economicss. Also it compares some of the diff

7、erences about the dynamic analysis, static analysis and static equilibrium analysis in applied economics. Finally, this article discusses the limitations of mathematics in economics, and the economic direction under math

8、</p><p>　　【KEYWORDS】mathematics；economics；application；dynamic analysis；optimization</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要I</b></p><p>　　Abstract

9、I</p><p><b>　　目　錄II</b></p><p>　　1、數(shù)學在經(jīng)濟學中應用的意義1</p><p>　　1.1經(jīng)濟學與數(shù)學的定義與關系1</p><p>　　1.2數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用1</p><p>　　1.3經(jīng)濟學在數(shù)學應用下的發(fā)展1</p>&

10、lt;p>　　2、國內(nèi)外發(fā)展動態(tài)及研究現(xiàn)狀2</p><p>　　2.1數(shù)學在經(jīng)濟學中應用發(fā)展的歷史概況2</p><p>　　2.1.1萌芽時期2</p><p>　　2.2.2形成時期3</p><p>　　2.3.3全面發(fā)展時期3</p><p>　　2.2數(shù)學在經(jīng)濟學中的研究現(xiàn)狀3</

11、p><p>　　2.2.1數(shù)學知識在經(jīng)濟學靜態(tài)均衡分析中的應用4</p><p>　　2.2.2數(shù)學在比較靜態(tài)分析中的應用4</p><p>　　2.2.3數(shù)學在動態(tài)分析中的應用4</p><p>　　3、數(shù)學的動態(tài)分析在經(jīng)濟學最優(yōu)化問題中的應用4</p><p>　　3.1動態(tài)分析的動態(tài)規(guī)劃和經(jīng)濟學的最優(yōu)化問題

12、4</p><p>　　3.2產(chǎn)品成本、價格與經(jīng)濟效益的動態(tài)最優(yōu)化模型5</p><p>　　3.2.1建立數(shù)學模型5</p><p>　　3.2.2模型的求解6</p><p>　　3.2.3模型的結果分析7</p><p>　　3.3投資效益的動態(tài)最優(yōu)化模型8</p><p>　　

13、3.3.1建立數(shù)學模型8</p><p>　　3.3.3模型的結果分析11</p><p>　　3.4靜態(tài)分析、比較靜態(tài)分析、動態(tài)分析之間的比較12</p><p>　　3.4.1靜態(tài)分析、比較靜態(tài)分析、動態(tài)分析三者定義的差異12</p><p>　　3.4.2靜態(tài)分析、比較靜態(tài)分析、動態(tài)分析三者實際應用中的特征13</p&g

14、t;<p>　　4、數(shù)學在經(jīng)濟學中應用的局限性13</p><p>　　4.1數(shù)學與經(jīng)濟學的不同特征13</p><p>　　4.2 數(shù)學在經(jīng)濟學應用中的局限性13</p><p>　　5、經(jīng)濟數(shù)學化下的走向14</p><p>　　5.1數(shù)學在經(jīng)濟學中的不可替代性14</p><p>　　5.

15、2經(jīng)濟數(shù)學化的大趨勢14</p><p><b>　　6、總結15</b></p><p><b>　　參考文獻16</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p>　　數(shù)學在經(jīng)濟學中應用的意義</p><p>　　1.1經(jīng)濟學與數(shù)學的定義與關系&

16、lt;/p><p>　　首先，何為經(jīng)濟學。經(jīng)濟學，是探究社會的資源配置以及社會關系的一門學科。通過何種方法去有效配置并且合理利用稀缺的經(jīng)濟資源，去最大限度的滿足人類需求始終是經(jīng)濟學研究的主題[1]。正因如此，便不可避免的會涉及到經(jīng)濟利用效率和最優(yōu)化配置問題。而在有關效率和最優(yōu)化的問題研究上，不但有定性的分析，并且更關鍵的是要有定量分析。數(shù)學作為定量分析的主要工具，它的嚴密性、客觀性正好符合了這一要求。正因如此，在經(jīng)濟

17、學中，通過引入數(shù)學這種工具，可以更好、更完善的去表述經(jīng)濟學的原理基礎[3]。并且，通過建立數(shù)學模型，將具體的經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化，通過模型的建立和解決，使分析變得更加的具體形象，以此將對經(jīng)濟的研究從初步的想法推向深入的探索，推動經(jīng)濟學走向精準化、準確化。</p><p>　　1.2數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用</p><p>　　通過，數(shù)學方法在經(jīng)濟學中的應用[2][4][5]，使經(jīng)濟這一學科得到了長足的

18、發(fā)展。數(shù)學方法在各類學科的應用方面，可以說是相當?shù)膹V泛，幾乎能夠滲透到每一個領域。而在經(jīng)濟學中的應用，數(shù)學方法更使其不斷的創(chuàng)造出了新的經(jīng)濟學科，比如：計量經(jīng)濟學、數(shù)理經(jīng)濟學、經(jīng)濟統(tǒng)計學、博弈論……它們的產(chǎn)生正是數(shù)學與經(jīng)濟學互相結合的象征。正如，系統(tǒng)論和經(jīng)濟學結合創(chuàng)造了經(jīng)濟系統(tǒng)分析, 控制論和經(jīng)濟學結合創(chuàng)造了經(jīng)濟控制論……種種方法的創(chuàng)造和產(chǎn)生，不但充實了經(jīng)濟學，同時，更使經(jīng)濟學得到了更加廣泛的運用。</p><p>

19、;　　1.3經(jīng)濟學在數(shù)學應用下的發(fā)展</p><p>　　正是由于數(shù)學方法在經(jīng)濟學中的應用，不但促使經(jīng)濟學成為了一門真正的科學，也是促使經(jīng)濟學科學化的一個有效途徑。經(jīng)濟學在兩個方面體現(xiàn)了科學化：第一個是弘揚了科學精神；第二個是運用了科學方法。在科學上，只有具有可檢驗性，才能產(chǎn)生某種理論或假說, 反之，若是不具有可檢驗性, 則因為無法對其判斷真?zhèn)? 而不能成為科學。正是因此，數(shù)學模型植入到經(jīng)濟學科中，它的建立并且應

20、用使得經(jīng)濟學成為一門更加嚴謹?shù)膶W科。</p><p>　　當然，在經(jīng)濟學應用中，提高經(jīng)濟理論的實用性以及科學性，數(shù)學方法也做出了不少貢獻。數(shù)學推導的嚴謹性有助于經(jīng)濟理論的形成與發(fā)展。正是因為，經(jīng)濟理論采取了數(shù)學模型的植入方式,借助了數(shù)學的邏輯性和嚴密性使經(jīng)濟學的結論更加的明確和完整。推動了經(jīng)濟學向著精確化和完善化發(fā)展。</p><p>　　2、國內(nèi)外發(fā)展動態(tài)及研究現(xiàn)狀</p>

21、<p>　　2.1數(shù)學在經(jīng)濟學中應用發(fā)展的歷史概況</p><p>　　數(shù)學在經(jīng)濟學中的運用的歷史由來已久。早在古希臘時期，杰出的歷史學家色諾芬提出的財富增長思想就包含了簡單的數(shù)量關系。他通過數(shù)量分析，便模糊地意識到了商品價格的波動是根據(jù)供給和需求關系的變動而變化。而到近代以來，經(jīng)濟學中不斷用到了各種數(shù)學工具，數(shù)學的分析方法在經(jīng)濟學中，可以說是俯拾皆是。到了邊際革命以后，數(shù)學當中產(chǎn)生的各種新思想和新

22、方法更是大規(guī)模的滲透到經(jīng)濟學的分析中，使得經(jīng)濟學變成一門愈來愈嚴密的學科。</p><p>　　從剛開始的萌芽到最后的形成，自始至終，數(shù)學一直伴隨著經(jīng)濟學的發(fā)展。綜觀整個歷史，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學方法在經(jīng)濟學中的運用其實就是一個從簡單到復雜，從低級到高級的一個發(fā)展過程。從早先的經(jīng)濟學的簡單的數(shù)量分析方法到后來的微積分的偏導數(shù)，再之后的集合論線性模型的概念，數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用越來越深入，以致如今，若是沒有一定數(shù)學基

23、礎的人，如果要看懂某些數(shù)理性較強的經(jīng)濟學論文，幾乎是不可能[6][7]。</p><p>　　從各種資料查驗看，經(jīng)濟學與數(shù)學的應用發(fā)展大致可劃分為三個時期。</p><p><b>　　2.1.1萌芽時期</b></p><p>　　萌芽時期，經(jīng)濟學的數(shù)學方法因為受當時數(shù)學水平的限制，因此相對比較簡單，主要體現(xiàn)在簡單的數(shù)量分析。所謂的數(shù)量分析，

24、是指依據(jù)一定的經(jīng)濟理論，借助數(shù)學工具和統(tǒng)計資料來分析和說明經(jīng)濟現(xiàn)象，以作出一定的經(jīng)濟結論或是制定一定的經(jīng)濟政策提供客觀的依據(jù)。在萌芽時期，這些方法雖然十分簡單，但卻為后來在經(jīng)濟學中引入微積分、集合、拓撲、線性模型等高級的數(shù)學概念奠定了基礎</p><p>　　在萌芽時期，經(jīng)濟學家采用數(shù)學僅僅是作為經(jīng)濟理論的補充。他們在很多地方利用數(shù)學語言表述自己的觀點和理論，比如通過簡單符號、具體數(shù)字以及簡單的數(shù)學運算來說明不同

25、變量之間的關系。此時，他們一般以定性分析為主，再利用數(shù)學的初等數(shù)學的分析方法進行定量分析。數(shù)學在當時的經(jīng)濟學當中的使用也與當時的社會背景有著不可分割的聯(lián)系。在這個階段，由于經(jīng)濟學研究的主要內(nèi)容涉及著當時政治經(jīng)濟學的問題，因此，在萌芽期，它的運用局限于政治經(jīng)濟學這一個鄰域。</p><p>　　綜合這一時期各個經(jīng)濟學家，他們所使用的數(shù)學方法都是很簡單的，比如大量使用等量關系、比例關系等等。但也正是這些簡單的數(shù)量分析

26、方法，為經(jīng)濟學后來大規(guī)模的發(fā)展，大規(guī)模的使用數(shù)學方法進行分析做了前期準備。</p><p><b>　　2.2.2形成時期</b></p><p>　　形成時期，高等數(shù)學被不斷地、廣泛地應用到經(jīng)濟學中。比如概率論、微積分、線性代數(shù)等。在這個時期，社會的深刻變革以及方法論的改進都極大的促進了經(jīng)濟學的發(fā)展。經(jīng)濟學家通過借助數(shù)學工具，解決實際的經(jīng)濟問題，開拓新的研究領域和新

27、的研究方法。也正是在這個時期，數(shù)理經(jīng)濟學作為一門學科的名稱流傳開來。</p><p>　　形成時期，科學家通過借助建立數(shù)學經(jīng)濟模型，去解決實際的經(jīng)濟問題。同時，在這個時期, 諸如貨幣銀行學、財政學等經(jīng)濟學科也開始借助數(shù)學方法進行探究。數(shù)學方法的運用已經(jīng)從理論經(jīng)濟學拓展到了應用經(jīng)濟鄰域,</p><p>　　總的來說，在形成時期，最主要的象征就是數(shù)量經(jīng)濟學是誕生。</p>&l

28、t;p>　　2.3.3全面發(fā)展時期</p><p>　　全面發(fā)展時期, 數(shù)學在經(jīng)濟學中大行其道，達到了專門化、技術化和職業(yè)化的程度，可以說是登峰造極，開始主導經(jīng)濟學，數(shù)學化成為經(jīng)濟學發(fā)展的主流趨勢。大量的數(shù)學思想應用到積極研究中，產(chǎn)生了很多新的研究理論，也出現(xiàn)了很多成果。各個領域的經(jīng)濟學家都開始借助數(shù)學方法，對實際的經(jīng)濟現(xiàn)象和經(jīng)濟問題進行研究。比如宏微觀經(jīng)濟學、信息經(jīng)濟學等應用經(jīng)濟學，都開始大量的運用數(shù)學分

29、析方法進行闡述和驗證它們各自的經(jīng)濟理論。通過建立數(shù)學模型經(jīng)濟模型，可以分析經(jīng)濟理論和制定經(jīng)濟政策。為了無窮地追求嚴謹性、普遍性和簡潔性，經(jīng)濟學走向了公理化、形式化和數(shù)學化的不歸之路，數(shù)學化幾乎深入經(jīng)濟學的所有領域。</p><p>　　全面發(fā)展時期，伴隨著更多的應用數(shù)學理論的出現(xiàn), 新理論不斷的被融入應用到經(jīng)濟學領域的各門學科并在眾多的經(jīng)濟學研究方法中逐漸開始占據(jù)主導位置。同時，伴隨著計算機的誕生，所構造的數(shù)學經(jīng)

30、濟模型，被更好的完善和解決。使經(jīng)濟理論更加的完整、經(jīng)濟決策更加的科學，也使數(shù)學在最優(yōu)化分析中的應用得到了更加完善的體現(xiàn)。</p><p>　　2.2數(shù)學在經(jīng)濟學中的研究現(xiàn)狀</p><p>　　參考了目前在國內(nèi)外的部分經(jīng)濟文獻，應用數(shù)學去作為分析工具的越來越多，不但是經(jīng)濟學進步的一個顯著標志，它更使經(jīng)濟學走向了定量化、精密化和準確化。在經(jīng)濟學這一科學中，對于其中蘊藏的經(jīng)濟現(xiàn)象、經(jīng)濟運行及其

31、規(guī)律的闡述與探究，正是需要數(shù)學思想與數(shù)學方法的參與，以達到它的科學性。應用的數(shù)學分析方法也有多種。比如靜態(tài)分析、動態(tài)分析、最優(yōu)化分析等等。在經(jīng)濟學中，通過應用數(shù)學的各種方法，研究客觀的經(jīng)濟現(xiàn)象，并把所研究的對象借助建立數(shù)學模型，描述成能夠用數(shù)學方法來解決。</p><p>　　2.2.1數(shù)學知識在經(jīng)濟學靜態(tài)均衡分析中的應用</p><p>　　靜態(tài)均衡分析是指不考慮時間變化的分析。<

32、/p><p>　　在靜態(tài)均衡分析中, 關鍵的問題是求出滿足均衡條件的內(nèi)生變量的值。只要確定了滿足均衡條件的內(nèi)生變量的值,無論是局部均衡分析還是一般均衡分析,實際上就確定了均衡條件。</p><p>　　在靜態(tài)均衡分析中, 確定均衡條件的過程實質(zhì)上就是方程組求解的過程。線性方程組求解和非線性方程組求解，是方程組求解的兩種方法,, 其中在線性方程特別是比較復雜的線性方程組求解中, 通常會應用到矩陣

33、代數(shù)。矩陣代數(shù)為我們求解龐大的方程提供了一種相當簡潔的方式, 特別是矩陣代數(shù)中的“克萊姆法則”, 對我們求解復雜的線性方程提供了方便, 正因為如此，它在產(chǎn)品市場的靜態(tài)均衡、國民收入的模型和投入——產(chǎn)出模型中都會得到大量的應用。</p><p>　　2.2.2數(shù)學在比較靜態(tài)分析中的應用</p><p>　　比較靜態(tài)分析是指分析，當已知條件發(fā)生變化以后經(jīng)濟現(xiàn)象的均衡狀態(tài)發(fā)生的相應變化。<

34、/p><p>　　對于比較靜態(tài)分析而言,平時更多關注的實質(zhì)是求變化率的問題, 即內(nèi)生變量均衡值對于特定參數(shù)或外生變量變化的比率。 而數(shù)學中的導數(shù)正好符合了這一要求。所以在比較靜態(tài)分析中，必然將涉及導數(shù)以及與導數(shù)密切相關的極限。同時，在比較靜態(tài)分析中，我們還會涉及到全微分、全偏導, 以及隱函數(shù)的導數(shù)等知識內(nèi)容。歸納而言,比較靜態(tài)分析的性質(zhì)決定了在進行比較靜研究時必將會涉及到大量數(shù)學知識。</p><

35、p>　　2.2.3數(shù)學在動態(tài)分析中的應用</p><p>　　動態(tài)分析是指對經(jīng)濟變動的實際過程進行分析, 其目的是探詢研究變量的具體時間路徑, 或者是確定在給定的充分長的時間內(nèi), 這些變量是否會收斂于某一值, 其顯著特征是將時間納入了分析范圍。若將時間視為連續(xù)變量,就需要大量應用積分知識。</p><p>　　在動態(tài)分析中, 不但會有積分知識( 定積分、不定積分、廣義積分) , 還會

36、涉及到微分方程。另外, 如果我們將時間變量視為離散變量, 則還會應用到差分方程。因此， 動態(tài)分析相對比較復雜, 涉及到數(shù)學知識也比較多。</p><p>　　3、數(shù)學的動態(tài)分析在經(jīng)濟學最優(yōu)化問題中的應用</p><p>　　3.1動態(tài)分析的動態(tài)規(guī)劃和經(jīng)濟學的最優(yōu)化問題</p><p>　　正如上所說，所謂的動態(tài)分析是指對經(jīng)濟變動實際過程進行分析，其目的探尋研究變量的

37、具體時間路徑，或者是確定在給定的充分長的時間內(nèi)，這些變量是否能夠收斂于某一值，它的顯著特征就是將時間納入了分析的范圍，如果將時間視為連續(xù)變量，我們就會大量的應用積分知識。</p><p>　　動態(tài)規(guī)劃是解決多階段最優(yōu)化的一種方法。是由美國數(shù)學家R．BELLMAN在 1951年創(chuàng)建。它主要是用來研究多階段決策問題。</p><p>　　在時間的推移過程中．在每個時間段如何選擇適當?shù)臎Q策．從而

38、使得，整個能夠達到最優(yōu)。</p><p>　　而在經(jīng)濟學中，很多方面都應用到了動態(tài)分析。尤其是經(jīng)濟學的最優(yōu)化問題。</p><p>　　在經(jīng)濟學中，我們經(jīng)常會碰到有關“優(yōu)化”的問題，比如需求最優(yōu)化、生產(chǎn)利潤最優(yōu)化、生產(chǎn)產(chǎn)量最優(yōu)化、投資效用最大化等等。</p><p>　　而這類問題解決的主要方法就是數(shù)學的最優(yōu)化求解法．它的解決方法也有很多，比如無約束最優(yōu)化求解法、等

39、式約束最優(yōu)化求解法、不等式約束最優(yōu)化求解法、動態(tài)規(guī)劃求解法等。本文希望通過動態(tài)分析在最優(yōu)化問題中的應用，闡述數(shù)學在經(jīng)濟生活中的密切應用。同時也論述比較動態(tài)分析與其他諸如靜態(tài)分析、靜態(tài)均衡分析方法等在經(jīng)濟學中的應用的一些差異。</p><p>　　下面，我將主要通過動態(tài)規(guī)劃求解來解決經(jīng)濟學里的一些最優(yōu)化問題。并以此，分別通過建立兩個數(shù)學模型，第一個是產(chǎn)品質(zhì)量與經(jīng)濟效益的動態(tài)最優(yōu)化模型，第二個是投資效益的動態(tài)最優(yōu)化模

40、型。依次運用動態(tài)分析方法來進行探究分析。</p><p>　　3.2產(chǎn)品成本、價格與經(jīng)濟效益的動態(tài)最優(yōu)化模型</p><p>　　3.2.1建立數(shù)學模型</p><p>　　21世紀，伴隨著市場經(jīng)濟的不斷向前發(fā)展，企業(yè)之間的競爭也越來越凸顯。因此，如何制定合適的產(chǎn)品生產(chǎn)銷售計劃，至關重要。</p><p>　　通過對相關文獻的查找與探尋。在建

41、立模型的過程中，我主要參考了產(chǎn)品的價格需求函數(shù)模型、產(chǎn)品最優(yōu)質(zhì)量成本模型……在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，產(chǎn)品的價格與銷量、利潤有著直接的影響，價格太低，則會降低企業(yè)自身的盈率，價格太高，又會導致銷量的下降。因此，如何制定產(chǎn)品的價格是企業(yè)至關重要的一環(huán)。而價格本身本身會伴隨著產(chǎn)量的增加而逐步降低，直至一個平衡點。</p><p>　　在質(zhì)量成本模型中，提到了最優(yōu)質(zhì)量本身與時間有著直接關系。因為從動態(tài)、全面的角度看，它應該存在

42、著“學習效應”，在不斷生產(chǎn)的過程中，企業(yè)會逐步增進質(zhì)量，而其相對應的單位成本不斷減少。即單位成本隨著累積產(chǎn)量的增加而降低。伴隨著產(chǎn)品質(zhì)量的提高、產(chǎn)量的增加和相應的累積經(jīng)驗的增長，產(chǎn)品成本會不斷下降。</p><p>　　基于此，我希望通過建立一個產(chǎn)品生產(chǎn)銷售的模型，通過動態(tài)最優(yōu)化方法去解析，研究產(chǎn)品的銷量、價格、成本、時間之間的關系，以及與利潤現(xiàn)值之間的關系，探尋最優(yōu)銷量及相對應的最優(yōu)成本和最優(yōu)價格隨時間之間的變

43、化軌跡，從而說明在市場的競爭機制條件下，改進產(chǎn)品質(zhì)量從而降低成本以及制定合適的產(chǎn)品價格對于企業(yè)效益最優(yōu)化的重要性。</p><p>　　以此，我建立了一個數(shù)學模型，如下：</p><p>　　在甲城市有眾多生產(chǎn)銷售型的企業(yè)，A公司正是其中之一。作為眾多生產(chǎn)銷售型企業(yè)中的一家，為了能夠更好的在與其他公司競爭中取得優(yōu)勢，更好的將公司的利益最大化。A公司推出一款產(chǎn)品，希望能夠通過對該產(chǎn)品質(zhì)量的提

44、升、價格和產(chǎn)量的制定，以及成本的控制，做一個利潤現(xiàn)值最大化的方案。</p><p>　　假定，A公司做的方案的年限是N年()，表示累積經(jīng)驗, 表示單位產(chǎn)品的成本。表示該企業(yè)在第n年的產(chǎn)品的產(chǎn)量，其中在第一年，產(chǎn)品的價格大于單位產(chǎn)品成本。表示產(chǎn)品的價格。利潤現(xiàn)值為H。利用動態(tài)規(guī)劃求出，在何種情況下，該企業(yè)的計劃報告的利潤現(xiàn)值H能夠達到最大化，并分析其結果所蘊含的意義。</p><p>　　3

45、.2.2模型的求解</p><p>　　首先，產(chǎn)品價格可以用反需求函數(shù)表示，在假定產(chǎn)量多于需求量，而且需求量為一個恒定值的情況下，可以發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)量越多的時候，產(chǎn)品的價格也越低，可以通過經(jīng)濟下的價格曲線得到。因此，產(chǎn)品的價格是產(chǎn)品產(chǎn)量的減函數(shù)，即。 </p><p>　　單位產(chǎn)品成本是累積經(jīng)驗的減函數(shù),即，而累積經(jīng)驗是隨著產(chǎn)量的增加而不斷增加。也就是說單位成本降低率隨著累積產(chǎn)量的增加越來越小。

46、所以，累積經(jīng)驗可以用產(chǎn)量表示。即第n年的累積經(jīng)驗可以表示為： </p><p>　　其中，，表示該公司初始時刻的累積經(jīng)驗。單位成本與產(chǎn)量之間的關系如下圖： </p><p>　　其中，，而隨著時間不斷增加趨向無窮，產(chǎn)量不斷增多后，價格和單位成本最終將越來越接近。</p><p>　　A公司的最優(yōu)化問題是：</p><p><b>　

47、　其中，</b></p><p><b>　　如下圖：為最優(yōu)產(chǎn)量</b></p><p>　　3.2.3模型的結果分析</p><p>　　在建立本模型的時候，做了一些相應的假設，比如，市場的需求量一直保持在一個平衡點，這是為了方便后面的計算。事實上，在現(xiàn)實的經(jīng)濟生活中，市場的需求量也一直在變化，從剛開始的不斷增加到后面的趨于穩(wěn)定。

48、跟時間也有緊密的關系。假如，在本模型中，加入這個因素，則需要再另外建立的函數(shù)關系，會顯得比較復雜。因為，市場需求的變化直接影響了產(chǎn)量，而市場需求又會設計很多相關方面，比如該產(chǎn)品所在行業(yè)的大背景，若是在這段過程，有突發(fā)狀況影響了市場的需求（比如，日本的核輻射導致的漁業(yè)……），此時，就需要結合除了數(shù)學外的其他相關學科的知識，同時也要考慮風險因素。在這個模型中，就不再累述。</p><p>　　該模型的分析結果表明：&

49、lt;/p><p>　　第一，伴隨著年限n的增加，累積經(jīng)驗在不斷的提高，而A公司的成本則在下降。這也表明了，隨時間的增加，很多企業(yè)的質(zhì)量在不斷改進成本在不斷降低。</p><p>　　第二，雖然A公司產(chǎn)品的質(zhì)量水平在增加，成本在減少，但它的產(chǎn)品的價格反而在下降。這是因為伴隨著產(chǎn)品質(zhì)量的提高，產(chǎn)品成本會不斷下降，從而導致產(chǎn)量的增加，而當產(chǎn)品在市場上的供給量增加的時候，如果不考慮需求量變化的情況下

50、，產(chǎn)品的價格自然會下降。</p><p>　　第三，產(chǎn)品的價格和單位成本之間的差值在不斷減少。這也驗證了在競爭條件下，市場飽和度的變化情況。從剛開始的一家獨大到最后的紅海，在一整個過程中，必然會出現(xiàn)一個最優(yōu)產(chǎn)量，必然大于需求量。此時，它的價格和成本都會趨于一個最優(yōu)值，產(chǎn)值收益會達到最大。也從側(cè)面驗證了，價格并不是越高越好，也不是越低越好。至于成本，隨著時間的增加，學習的經(jīng)驗也會越來越有限。它變動最大的時間段主要集

51、中在開始，那時，學習的最大，質(zhì)量改進的也相對最多。</p><p>　　模型的主要思想是建立在質(zhì)量控制成本和直接生產(chǎn)成本都存在著學習效應，而價格變動也在隨著時間而進行。總的來說，通過建立模型，將成本控制和學習，產(chǎn)量與價格效應聯(lián)系起來，并通過動態(tài)最優(yōu)化模型解釋了企業(yè)在競爭性環(huán)境下可以通過不斷的質(zhì)量改進，降低成本，制定最優(yōu)價格去獲得最優(yōu)收益。</p><p>　　3.3投資效益的動態(tài)最優(yōu)化模型

52、</p><p>　　3.3.1建立數(shù)學模型</p><p>　　在當下，伴隨著國內(nèi)的房價一路攀升，油價上飆，物價不斷的飛快上升……國內(nèi)的通貨膨脹越演越劇烈，人民幣也在加速貶值。</p><p>　　2010年12月26日，中國人民銀行開始上調(diào)人民幣存、貸款基準利率，這是中國央行在全球金融海嘯之后——最近兩個多月中第二次加息。中國貨幣、金融進入了加息時代。與此同時，

53、中國總理溫家寶同一天表示，中國政府將能夠控制住通脹。</p><p>　　在這種情況下，如何能夠抵抗大規(guī)模的通貨膨脹，如何通過保持個人的經(jīng)濟水平不隨著人民幣的不斷貶值而縮水。成為了越來越多的人關注的話題。</p><p>　　也正是因此，很多人試圖通過投資，獲得較高額度的回報，以此來抵抗人民幣的貶值。所以，在通貨膨脹時代下如何能夠獲取投資效益最大化的技巧，被很多人所關注。</p>

54、;<p>　　基于此，我希望通過建立一個投資效用的模型，通過動態(tài)最優(yōu)化方法[8]去解析，模型如下：</p><p>　　某人經(jīng)過十幾年的積累，手上現(xiàn)有100萬的閑置資金，為了防止資金在通貨膨脹中貶值，于是，他決定將這部分的資金用于實際投資。為此，他列了一個大致的規(guī)劃，希望能夠在四年內(nèi)，將這部分的閑置資金全部用于投資。假設，當他一年內(nèi)用于投資的金額為萬元時，則他在該年能夠獲得的收益。同樣，他每一年未用

55、于投資的剩余閑置資金將自動連同利息計入下一年的投資。其中，年利息，假設為10%。而每年計劃用于投資的那部分資金不計利息。在這種情況下，試用動態(tài)規(guī)劃，幫助此人恰當?shù)闹贫ㄩe置資金的投資計劃，已幫助他在這四年里，能夠?qū)⑺拈e置資金的效用達到最大化。并就得到的結果進行分析。</p><p>　　3.3.2模型的求解</p><p>　　假設該人在第n年的年初可用于投資的金額為，而在該第n年用于實際

56、投資的金額為萬元。同時，令為該人第n年投資的投資效用，為第n年至第四年的投資的最大效用。</p><p><b>　　由題意可知， </b></p><p>　　其中，第1年到第四年的年初可用于投資的投資金額分別可以表示為： </p><p>　　同樣，第一年到第四年的投資的最大效用也可以分別表示為：</p><p>　

57、　（其中，當時，取到最大）</p><p>　　(其中，，取到最優(yōu)解時，）</p><p>　?。ㄆ渲?，，取到最優(yōu)解時，）</p><p>　　（其中，，取到最優(yōu)解時，）</p><p>　　從而原題中可知，代入可以解得：</p><p>　　因此，由上可以得出，該人應該計劃第一年實際投資21.547萬元，第二年實際投

58、資26.072萬元，第三年實際投資31.547萬元，第四年實際投資38.172萬元，此時的，投資效用能夠達到最大化。</p><p>　　3.3.3模型的結果分析</p><p>　　該模型的分析結果表明:</p><p>　　第一、在最優(yōu)化投資方案中，投資的金額會伴隨著年限的增長而逐漸增多，即是時間n的增函數(shù)。</p><p>　　第二、在

59、最優(yōu)化投資方案中，隨著時間的增加，每年初可投資的金額會逐漸減少，即是時間n的減函數(shù)。</p><p>　　第三、 在最優(yōu)化投資方案中，每年的投資金額累積的總投資卻并不與原有的閑置投資資金一致，而是會增長。即是時間n的增函數(shù)。這是因為隨著年限的增長，會伴隨產(chǎn)生年息，從而流入投資金額中。</p><p>　　在本案例所構造的數(shù)學模型中，很多方面做了假設[9][11]。</p>&

60、lt;p>　　第一個，在本案例中，此人是以100萬做四年的總投資規(guī)劃。但若是此人每年都有100萬的閑置資金可用于投資，則其分析情況與上面的就會有所出入，如果是每年都有100萬可以用于投資，那么在模型的求解過程中，則應當從第二年開始，在原有的基礎上，對于新增加的100萬追加投資利用和前面同樣的動態(tài)規(guī)劃的方法，對其進行再次規(guī)劃。比如，第二年的100萬，將其分解為100萬的投資用于三年規(guī)劃；第三年的100萬，將其分解為100萬的投資用于

61、兩年規(guī)劃；第四年（即最后一年）的100萬，則是將其全部投入投資。再將以上四年四個100萬所產(chǎn)生的效用累加，即是所求的最大投資效用。</p><p>　　第二個，在本案例中，假設了此人在某年投資所產(chǎn)生的效益（連同本金）不再投資于今后的幾年，也未計算其年息，這種情況在現(xiàn)實生活中是不存在的，之所以在模型中，如此操作，是為了簡化模型，簡單計算。假如，將這個因素考慮到這個模型中，則如同上面所提的每年追求投資100萬，只需將

62、每年投資所產(chǎn)生的效益（連同本金）再次投入下一年的規(guī)劃。比如，第一年的投資收益連同其本金，按照剩余三年的規(guī)劃再次用于投資計劃。以此類推，第二年所產(chǎn)生的投資效益連同本金按照剩余兩年的規(guī)劃用于投資計劃……直至，最后一年年初的可用于投資的總額度，再這一年的投資中，全部投入。</p><p>　　第三個，本文中，假設了投資規(guī)劃的年限是四年，一般在現(xiàn)實生活中，分為兩種情況，第一種就是按照年限規(guī)劃，正如本文中的，有一定的時間期

63、限（比如四年，五年……）。這中情況就不再累述，按照上文所提的方法即可解決。另外一種方法是不存在年限的累積計算，也就是把該年年初可用于支配的資金，按照一定比例用于實際投資或放入銀行存息。如果是這種情況，則相對更容易計算，只需要用靜態(tài)分析方法（不需引入時間概念），將投資的回報風險比率和銀行實際利率進行比對，再參考實際的個人的生活情況（將留用資金放于銀行），建立一個模型，求出一個比值，從而將這些資金進行分別規(guī)劃。另外，需提一下的是，本文中假設

64、了年息是10%，這也是為了計算方便，在實際生活中，一般是不可能出現(xiàn)這種現(xiàn)象的。如果年息是10%，而他一年內(nèi)用于投資的金額為100萬元，他的投資回報比也是按照計算的話，那么此人在做規(guī)劃時，則不需要再分配資金投資了，全部放入銀行就可以，因為，首先，第一年的收益也能達到10萬，和做投資產(chǎn)生效益一樣。另外，資金放銀行的風險相對幾乎不存在，與做投資相比，則有利很多。當然，這是理想情況，在現(xiàn)實生活中，一般是不存在的。</p><

65、p>　　第四個，本文中，規(guī)定了，投資回報為，沒有考慮實際的風險。而在實際經(jīng)濟生活中，投資必然伴隨著一定的風險。因此，在做投資規(guī)劃的時候，也往往會考慮到風險成本。在做風險預測時，首先要分析它的出處。風險來源有很多，比如大環(huán)境（即社會環(huán)境），類似于之前的金融風暴，很難避免，因為風險本身屬于不可測，但是可以通過一定手段去規(guī)避或盡力降低風險成本；還有考慮行業(yè)背景，如果做的投資項目是屬于醫(yī)藥或是其他產(chǎn)業(yè)，就必須要考慮該行業(yè)的發(fā)展趨勢以及目前

66、所存在的一些風險層面……經(jīng)濟學本身是一個非常復雜的學科,經(jīng)常會與其它學科交叉。因此，數(shù)學方法也要時常和其它方法相結合。因此需要我們在研究經(jīng)濟問題時,能綜合運用各種方法。</p><p>　　回到這個模型中，模型的分析結果與“投資伴隨年限的拉長逐漸增加”的思想恰好一致，闡述了投資并不是一次性投入是最優(yōu)化方案，而是應該逐年遞增，才能達到資金效用的最大化。雖然在任何給定時刻下投資越多，相應投資回報越多，但由于即使不考慮

67、風險和不可控因素的影響，也存在著年息，投資總額會伴隨著年限的增加而增長，因此，應該不應該一次性投入。</p><p>　　模型的主要思想是建立在投資年限和投資效用的關系上，我們可以通過累積成本和年息產(chǎn)生的利潤，逐年投資，去達到更高的投資回報率，是投資效用達到最大化。</p><p>　　因此，通過這個模型，可以可以進一步說明隨著時間的推移，年息的積累，投資金額逐年會增加，投資回報也會達到最

68、大化。在實際投資的過程中，可以通過建立實際模型，利用動態(tài)規(guī)劃，去得到最優(yōu)化的解，從而提高個人的收益，使個人的投資資金效用達到最大化。</p><p>　　3.4靜態(tài)分析、比較靜態(tài)分析、動態(tài)分析之間的比較 </p><p>　　3.4.1靜態(tài)分析、比較靜態(tài)分析、動態(tài)分析三者定義的差異</p><p>　　通過上述兩個模型的建立和分析，可以看出數(shù)學的動態(tài)分析在經(jīng)濟學的最

69、優(yōu)化問題中的深入應用[9][10]。其中，在2.2的研究現(xiàn)狀中，也提到了，數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用廣泛，分析方法也多種多樣，針對于靜態(tài)分析、比較靜態(tài)分析、動態(tài)分析三者的各自含義在上文中也有了一定的說明和闡述。</p><p>　　其實，三者之間的差異也十分明顯。</p><p>　　分析單個供求均衡時運用的就是靜態(tài)分析。</p><p>　　當影響供求的因素發(fā)生變化時，

70、相應的供給和需求曲線也會發(fā)生移動，它們會達到新的均衡狀態(tài)，這時運用的就是比較靜態(tài)分析，即兩個均衡狀態(tài)的比較。</p><p>　　動態(tài)分析則是分析每一期自變量都會變化，相應的應變量隨之變化，同時把時間的因素考慮進去。</p><p>　　3.4.2靜態(tài)分析、比較靜態(tài)分析、動態(tài)分析三者實際應用中的特征</p><p>　　由上文中的為研究數(shù)學的動態(tài)分析在經(jīng)濟學最優(yōu)化問

71、題中的應用而建立的兩個數(shù)學模型更是闡述了，動態(tài)規(guī)劃對于時間的因素的強調(diào)性。以時間為主的狀態(tài)變量是其顯著的特征。主要用來研究多階段決策問題．即在時間的推移過程中．在每個時間段如何選擇適當?shù)臎Q策．以便整個達到最優(yōu)。其實動態(tài)分析的最大優(yōu)勢在于它具有極高的效率，算法也清晰簡便，程序易編、易調(diào)等等。</p><p>　　通過上述的兩個模型也可以明顯的動態(tài)分析與其他兩種分析方法的顯著不同。更多的在經(jīng)濟管理中相對于時間的加入中

72、，得到了廣泛的應用。例如經(jīng)驗積累、投資回報等問題，用動態(tài)規(guī)劃方法比用其它方法求解更為方便。</p><p>　　4、數(shù)學在經(jīng)濟學中應用的局限性</p><p>　　4.1數(shù)學與經(jīng)濟學的不同特征</p><p>　　數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用十分廣泛，比如上文中提到的數(shù)學在經(jīng)濟學中有關最優(yōu)化問題中的應用。但是在，看到數(shù)學積極的一方面，我們也同時應該看到它的局限性，這樣才能避

73、免走入誤區(qū)。</p><p>　　經(jīng)濟學畢竟不是數(shù)學，它最關鍵的是經(jīng)濟思想。數(shù)學只是作為一種分析工具和分析方法存在。它必須在經(jīng)濟理論的框架中才能發(fā)揮真正的應用作用。它不可能替代經(jīng)濟學。簡單的說，就是數(shù)學是手段，而非目的。正因如此，在經(jīng)濟學的理論和思想的研究中，不能一味的依靠數(shù)學，本末倒置。如果把經(jīng)濟學變成了抽象和負責的數(shù)學公式，則是忽視了經(jīng)濟學作為一門社會科學的特性，失去了經(jīng)濟學的人文性和真正的科學性。數(shù)學的分析

74、方法只是執(zhí)行經(jīng)濟理論方法的工具之一，并不是唯一的工具。當然，數(shù)學經(jīng)濟建模應用十分廣泛，如上文提到的兩個模型，為決策者提供了參考依據(jù)和指導工作，比如節(jié)省開支，降低成本，提高利潤等等。尤其是動態(tài)分析引入的時間概念，對未來可以預測和估計，極大的促進了科學技術和經(jīng)濟的蓬勃發(fā)展。</p><p>　　4.2 數(shù)學在經(jīng)濟學應用中的局限性</p><p>　　總的來說，數(shù)學與經(jīng)濟學的區(qū)別以及經(jīng)濟現(xiàn)象的不

75、可重復性和不對稱性等方面，都決定著數(shù)學在經(jīng)濟學中的局限性：</p><p>　　第一、不能用數(shù)學的邏輯（分析）來替代經(jīng)濟學的邏輯（分析）；</p><p>　　第二、不能用統(tǒng)計回歸來推斷經(jīng)濟中的因果關系；</p><p>　　第三、統(tǒng)計回歸只能對已有假說進行證偽和（在一定的條件下）獲取數(shù)量關系；</p><p>　　第四、數(shù)學推理只能局限于經(jīng)

76、濟學中數(shù)的運算（當然，還可以用數(shù)學符號來表示經(jīng)濟關系）。</p><p>　　5、經(jīng)濟數(shù)學化下的走向</p><p>　　5.1數(shù)學在經(jīng)濟學中的不可替代性</p><p>　　雖然，數(shù)學在經(jīng)濟學中有著很多的局限性，但同時，它在經(jīng)濟學中的廣泛應用，也使經(jīng)濟學的領域不斷擴大，使理論更加的豐富和成熟，使成果更加具有可操作性和現(xiàn)實性，使經(jīng)濟學更加的嚴密，表達更準確，思維更成

77、熟。</p><p>　　數(shù)學本身作為一種十分強有力的分析工具，一種高效的推理語言，它的地位是任何文字推理所無法取代的。文字的表述的概念往往存在某種模糊性，而數(shù)學語言的定義卻使得概念變得十分的明朗。也正是因此，數(shù)學使得經(jīng)濟學概念精確化，提高了人們爭論時的效率。就如偏導數(shù)、全導數(shù)、全微分公式在數(shù)理經(jīng)濟學中是一些最基本的手段，當這些表達一旦被賦予經(jīng)濟學的含義時，復雜的事物就變得如此之清晰可辨，一直用不著任何多余的文字

78、說明。</p><p>　　5.2經(jīng)濟數(shù)學化的大趨勢</p><p>　　數(shù)學引入經(jīng)濟學是大勢所趨，尤其是數(shù)學規(guī)劃理論可以說是為了經(jīng)濟學而創(chuàng)立的。它研究在滿足一系列約束之下能夠獲得極值的條件。就如之前，我建立的兩個數(shù)學模型。經(jīng)濟學的任務也正是在遵守資源約束、生產(chǎn)技術約束的條件下，求得消費者效用的最大化?！?lt;/p><p>　　經(jīng)濟數(shù)學化可以體現(xiàn)在兩個方面：</

79、p><p>　　數(shù)學化體現(xiàn)了科學的理性精神。</p><p>　　數(shù)學化有助于經(jīng)濟學的實現(xiàn)科學化。</p><p>　　在認清數(shù)學在經(jīng)濟學中的局限性和不可替代性的前提下，善于學習先進的數(shù)學方法，并將其應用到實踐中。數(shù)學作為經(jīng)濟研究的重要工具，已經(jīng)產(chǎn)生了巨大的成就，證明了它的可行性，因此要認真學習先進的數(shù)學方法，為解決經(jīng)濟問題，解釋闡述經(jīng)濟現(xiàn)象做好應有的鋪墊。</p

80、><p>　　總之，數(shù)學對經(jīng)濟研究的發(fā)展、深化，無論是在過去、現(xiàn)在還是未來都具有舉足輕重的作用，一味依靠數(shù)學和盲目的拋棄數(shù)學都是不可取之路。必須科學地、高水平地將數(shù)學應用到經(jīng)濟學里面，才能更好的促進經(jīng)濟學的長遠發(fā)展。</p><p><b>　　6、總結</b></p><p>　　總的來說，在經(jīng)濟學中，應用數(shù)學方法研究客觀的經(jīng)濟現(xiàn)象，并把所研究的

81、對象描述成能夠用數(shù)學方法來解決的相關的數(shù)學經(jīng)濟模型，然后再借助數(shù)學中的動態(tài)分析等方法去解決所構造的數(shù)學經(jīng)濟模型。比如本文中所構造的兩個模型，便是將實際生活中有關經(jīng)濟現(xiàn)象的產(chǎn)品價格收益以及投資效用兩個問題分別建立了各自數(shù)學模型，并利用動態(tài)規(guī)劃，將其解決。數(shù)學中的一些分支如數(shù)學分析、線性代數(shù)、概率統(tǒng)計、微分方程、圖論等在經(jīng)濟學中應用，尤其是在最優(yōu)化分析中的應用、在動態(tài)分析中的研究以及在經(jīng)濟管理中的應用都十分重要，上文中所建立的模型便是建立在

82、解決經(jīng)濟最優(yōu)化問題的方案中。它們的應用使得經(jīng)濟研究數(shù)字化、形象化和簡便化，大大促進了經(jīng)濟學的發(fā)展。</p><p>　　另外，數(shù)學中的動態(tài)分析相比于靜態(tài)分析以及比較靜態(tài)分析，通過在經(jīng)濟中的最優(yōu)化問題中的數(shù)學經(jīng)濟模型的構造和解答，可以發(fā)現(xiàn)，雖然，數(shù)學應用于實際經(jīng)濟問題的方法有很多，而且都各自有不同的特征。但是，它們都能夠很好恰當?shù)慕鉀Q經(jīng)濟學的問題。對實際生活中的生產(chǎn)、投資、價格都能很好的輔助解決。比如上文建立的數(shù)學

83、模型中，也提到了，如果不考慮時間因素，則可以利用靜態(tài)分析很好的解答。</p><p>　　數(shù)學應用于經(jīng)濟學的局限性也同樣告訴我們，在經(jīng)濟學中應用數(shù)學要注意下面幾個特點：第一、數(shù)學方法是手段而非目的。在經(jīng)濟學的研究時, 一定要堅持以經(jīng)濟學為主體, 數(shù)學為輔助, 不能本末倒置。例如，上文構造的第一個數(shù)學模型中，必須是建立在實際的經(jīng)濟條件下（價格產(chǎn)量關系、成本產(chǎn)量關系……），如果一味純粹以數(shù)學工具來抽象的表達解決，是不

84、可能符合實際經(jīng)濟生活中的復雜情況的。第二、數(shù)學方法要和其它方法相結合。經(jīng)濟學是一個非常復雜的學科, 而且現(xiàn)代經(jīng)濟學的發(fā)展更注重與其它學科的交叉。因此需要我們在研究經(jīng)濟問題時,能綜合運用各種方法。只有這樣, 才能對經(jīng)濟理論有更加深刻的理解。比如本文建立的兩個數(shù)學經(jīng)濟模型中，都有涉及。在做風險規(guī)避的時候，必然要結合實際其他行業(yè)的現(xiàn)實情況，也就是必然要融入其他行業(yè)的知識。第三、要力求經(jīng)濟數(shù)學模型的合理性。為了使經(jīng)濟數(shù)學模型合理化, 建模時應該

85、注意: 有足夠的精確度， 簡單實用， 依據(jù)充分，盡量借鑒標準形式， 具有可控性, 易于操作等。本文所建立的兩個模型都是緊緊貼近了實際的經(jīng)濟生活情況，并將其利用實際的數(shù)據(jù)，融入了現(xiàn)實生產(chǎn)和投資案例中。使其更精確、易操作。</p><p>　　當然，經(jīng)濟的數(shù)學化也不斷的告訴我們在提防經(jīng)濟被數(shù)學替代的情況下，我們也更應該積極的學習和利用數(shù)學知識、數(shù)學工具、數(shù)學模型，將其更好的融入于經(jīng)濟學中，使它更好的輔助經(jīng)濟學問題的解

86、決，使經(jīng)濟學的理論更加的豐富、成熟，結論更加的嚴密，表達更準確，思維更成熟。從而，更好的促進經(jīng)濟學的長遠發(fā)展。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　劉玉紅 經(jīng)濟數(shù)學在經(jīng)濟管理中的應用[M]，山西；山西統(tǒng)計，2002（5）。</p><p>　　張建斌 淺論數(shù)學在經(jīng)濟學中的應用[M]，內(nèi)蒙古；內(nèi)蒙古財經(jīng)學院，2004

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