考察非線性方程求根的試位法課程設(shè)計(jì)

1、<p>　　《數(shù)值分析》課程設(shè)計(jì)</p><p>　　題 目 考察非線性方程求根的試位法 </p><p>　　學(xué) 生 </p><p>　　指導(dǎo)教師 </p><p>　　課 程 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) 書(shū)</p

2、><p>　　數(shù)理 系 數(shù)學(xué)0701 班 學(xué)生 王宇 秦海霞 樸日華 </p><p><b>　　課程設(shè)計(jì)課題：</b></p><p>　　考察非線性方程求根的試位法</p><p>　　一、課程設(shè)計(jì)工作日自 2009 年 6 月 22 日至 20

3、09 年 6 月 28 日</p><p>　　二、同組學(xué)生： 王宇 秦海霞 樸日華 </p><p>　　三、課程設(shè)計(jì)任務(wù)要求（包括課題來(lái)源、類型、目的和意義、基本要求、完成時(shí)間、主要參考資料等）：</p><p><b>　　【來(lái)源與意義】</b&

4、gt;</p><p>　　本課題來(lái)源于教材第七章非線性方程求根，目的是通過(guò)實(shí)例，考察非線性方程求根的試位法及其收斂速度。另一方面重在考查學(xué)生對(duì)用計(jì)算機(jī)與Matlab解決實(shí)際問(wèn)題的能力。</p><p><b>　　【基本要求】</b></p><p>　　要求自編程序；掌握編程思想，學(xué)會(huì)一門(mén)編程語(yǔ)言；報(bào)告要有較強(qiáng)的理論分析；有較強(qiáng)說(shuō)服力的數(shù)據(jù)

5、表或圖像；對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析；給出相應(yīng)結(jié)論；鼓勵(lì)創(chuàng)新；</p><p><b>　　【參考資料】</b></p><p>　　數(shù)值分析，李慶揚(yáng)，王能超，易大義，2001，清華大學(xué)出版社（第四版）。</p><p>　　數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，蔡大用，20

6、01，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)，薛毅，2005，北京工業(yè)大學(xué)出版社.</p><p>　　指導(dǎo)教師簽字： 教研室主任簽字： </p><p><b>　　天津工程師范學(xué)院</b></p><p>　　課 程 設(shè) 計(jì) 評(píng) 審 表</p><

7、p>　　數(shù)理 系 數(shù)學(xué)0701 班 學(xué)生 王宇 秦海霞 樸日華 </p><p><b>　　一、問(wèn)題提出</b></p><p>　　討論單變量非線性方程 (1.1)的求根問(wèn)題,這里. 在科學(xué)與工程計(jì)算中有大量方程求根問(wèn)題,其中一類特殊的問(wèn)題是多項(xiàng)式方程 (1.2) 其中系數(shù)為實(shí)數(shù).&l

8、t;/p><p>　　當(dāng)為代數(shù)多項(xiàng)式 (1.2) 時(shí),根據(jù)代數(shù)基本定理可知, 次方程在復(fù)數(shù)域有且只有 個(gè)根(含復(fù)根,重根為個(gè)根)，=1,2 時(shí)方程的根是大家熟悉的, 時(shí)雖有求根公式但比較復(fù)雜,可在數(shù)學(xué)手冊(cè)中查到,但已不適合于數(shù)值計(jì)算,而 時(shí)就不能用公式表示方程的根.因此，通常對(duì) 的多項(xiàng)式方程求根與一般連續(xù)函數(shù)方程（1.1）一樣都采用迭代法求根。這里介紹試位法，并應(yīng)用此方法求解下述問(wèn)題：</p>

9、<p>　　一個(gè)半徑為，密度為的木質(zhì)球體投入水中，問(wèn)球浸入水中部分的深度等于多少？，使用二分法求解，使得誤差小于，要求有數(shù)據(jù)表，與二分法比較收斂速度。</p><p>　　【要求】自編程序，報(bào)告有數(shù)據(jù)表、分析、結(jié)論。</p><p><b>　　二、理論基礎(chǔ)</b></p><p>　　若且，根據(jù)連續(xù)函數(shù)性質(zhì)可知在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，這

10、時(shí)稱為方程（1.1）的有根區(qū)間。</p><p>　　試位法對(duì)有根區(qū)間進(jìn)行考察，連接，兩點(diǎn)，與x軸交于,假設(shè)不是的零點(diǎn)，然后進(jìn)行根的搜索，即檢查與是否同號(hào)，如果確系同號(hào)，說(shuō)明所求的根在的右側(cè)，這時(shí)令；否則必在的左側(cè)，這時(shí)令，以下以在的左側(cè)為例對(duì)試位法的求根過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。</p><p>　　對(duì)壓縮了的有根區(qū)間又可實(shí)施同樣的手續(xù)，即連接與，交x軸于，令，從而又得到一個(gè)新的有根區(qū)間。</

11、p><p>　　如此反復(fù)進(jìn)行下去，即可得到一系列有根區(qū)間</p><p>　　其中每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度都比前一個(gè)要小，當(dāng)時(shí)，必收縮于一點(diǎn)，該點(diǎn)顯然就是所求的根。</p><p>　　在實(shí)施試位法過(guò)程中，連接與，把此直線與x軸的交點(diǎn)作為根的近似值，則可獲得一個(gè)近似根的序列該序列必以根為極限。</p><p>　　不過(guò)在實(shí)際計(jì)算中，我們不可能完成這個(gè)極限過(guò)

12、程，其實(shí)也沒(méi)有這種必要，因?yàn)閿?shù)值分析的結(jié)果允許帶有一定的誤差，只要滿足即可，為預(yù)設(shè)精度。</p><p><b>　　三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容</b></p><p>　　先確定有根區(qū)間，可通過(guò)使用Matlab中自帶的畫(huà)圖語(yǔ)句，得到圖形，觀察發(fā)現(xiàn)有3個(gè)根，以尋找內(nèi)的根為例。根據(jù)題意，找到的解，編寫(xiě)程序，以“與的誤差小于”為終止語(yǔ)句，列出以下數(shù)據(jù)表1：</p><

13、;p>　　我們知道二分法中，只需保證</p><p>　　，從中解得k＝17，即要迭代17次，見(jiàn)表2：</p><p><b>　　四、結(jié)果分析</b></p><p>　　對(duì)于表1，由于程序中給了終止語(yǔ)句，所以達(dá)到要求后程序自動(dòng)終止，k為迭代次數(shù)，為相應(yīng)迭代次數(shù)下的自變量的值。上例中如果采用試位法解決需要迭代3次，但如果采用二分法解決該

14、問(wèn)題則需迭代17次。所以說(shuō)一般情況下，試位法的迭代速度比二分法要快。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　1.數(shù)值分析，李慶揚(yáng)，王能超，易大義，2001，清華大學(xué)出版社（第四版）。</p><p>　　2.數(shù)值方法，關(guān)治，陸金甫，2006，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　3.數(shù)值分析與

15、實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)指導(dǎo)，蔡大用，2001，清華大學(xué)出版社。</p><p>　　4.數(shù)值分析與實(shí)驗(yàn)，薛毅，2005，北京工業(yè)大學(xué)出版社.</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　1.建立函數(shù)function y=f(x)</p><p>　　y=x^3-15*x^2+319; 命名為f.m</p>

16、;<p>　　>>format long</p><p>　　>>fzero('f',5) 得其零點(diǎn)為 5.93075075406021。</p><p>　　2.求函數(shù)f在[5,6]上的近似根的程序：</p><p><b>　　a=5;</b></p><p>&

17、lt;b>　　b=6;</b></p><p>　　format long</p><p>　　d=5.93075075406021;</p><p><b>　　i=1;</b></p><p>　　x(i)=b+((a-b)*f(b))/(f(b)-f(a));</p><p&g

18、t;　　if f(x(i))*f(a)>0</p><p><b>　　a=x(i);</b></p><p><b>　　else</b></p><p><b>　　b=x(i);</b></p><p><b>　　end</b></p&

19、gt;<p>　　while x(i)-d>0.5e-5</p><p><b>　　i=i+1;</b></p><p>　　x(i)=b+((a-b)*f(b))/(f(b)-f(a));</p><p><b>　　b=x(i);</b></p><p><b>