對非輕質彈簧性質的研究

1、<p><b>　　期末小組力學課題</b></p><p>　　題目：對計入自身質量彈簧性質的研究 </p><p>　　背景引入：從中學到大學，我們見過無數的物理題目，其中更是包含著許多與彈簧有關的習題，它們都有著一個共同的特點：彈簧是輕質彈簧。將彈簧視為沒有重力，胡克定律則可以在很小的誤差范圍內精確地成立。但生活中的問題并不是理想化情況，絕對的輕彈簧并

2、不存在，而且現實中的彈簧則大多是由金屬材料制作的，擁有著較大的質量，毫無疑問，在這種情況下，我們不能忽略彈簧本身的質量，應當在計算時將其質量納入，這樣一來所得到的解的誤差就會大幅減小。</p><p>　　因此，我們小組準備從理論上對彈簧在不同狀態(tài)下自身質量對受力的影響，嘗試解在不同實際情境下的運動情況，并對以上計算結果進行實驗驗證。</p><p>　　同類問題當前研究進展：此問題典型的

3、經典力學問題，由于涉及到的量不是很多，因此現在已有許多研究成果。此類問題一般會有多種解決方案，我們小組的目標是利用這一學期以來學習的微積分知識對此問題進行獨立研究與分析，并進行實驗對自己的研究成果進行檢驗。</p><p>　　最簡單的情況——豎直靜止受力</p><p>　　一根質量為m的彈簧，其勁度系數為k，在沒有任何外力作用下的原長度為l，分析其在被豎直懸掛時的伸長量，并懸掛重物，再

4、次分析。</p><p>　　1.利用力學和數學原理進行計算：</p><p>　　我們嘗試以下兩種思路解決這個問題：</p><p>　　將彈簧視作為質點系，利用質心進行等效代替從而計算：</p><p>　　如上圖所示，A，B為彈簧的兩端，C為彈簧的質心，當緩慢放開B點使彈簧自由下垂時，彈簧便會伸長。假設彈簧的質量均集中在C點，則等效為A

5、C彈簧承受重力mg，由彈簧的勁度系數特點知，AC段的勁度系數為2k。由胡克定律知伸長量。</p><p>　　思考：這樣做似乎是正確的，但如果仔細推敲就會發(fā)現，這種等效代替是不嚴密的，因為在彈簧處于豎直狀態(tài)時，彈簧每一處的拉力都不同。很明顯，下面部分的受力比上面的?。ㄔ娇拷鼞覓禳c所要拉起的質量越大，從而伸長量越大）。因此彈簧每一點的伸長量都不同，因此胡克定律應該只對每一段小微元是成立的，而此種等效代替則直接對一整

6、段彈簧運用胡克定律，從方法上看是不嚴密的，因此我們考慮換一種做法。</p><p>　　b.考慮彈簧各點的伸長量不同，利用微積分方法進行求解：</p><p>　　如上圖所示，將彈簧的懸掛點設為O點，向下作一條坐標軸。設彈簧在自由狀態(tài)時其上某點為D，其坐標為x，則在D點，長度為dx的微小段彈簧受到了其下方彈簧的拉力，此力的大小等于下方彈簧的重力。</p><p>　

7、　這是一小段彈簧的伸長量，要得到整根彈簧的伸長量需要對其積分：</p><p>　　我們可以看出，此種解法于上一種解法所得答案相同，因此我們有如下思考：在這種情況下，盡管彈簧的重力不能被忽略，但是在僅僅受到重力作用的情況下，彈簧受到的力和它的坐標是線性關系，第一種嘗試實際上是一種平均值的計算，但恰好由于嚴格的線性關系，平均值不需要加權，與微積分方法所得結果相同。</p><p>　　2.利

8、用實驗驗證計算所得的結論</p><p><b>　　a．實驗器材</b></p><p>　　三種規(guī)格不同的勁度系數較小的較長金屬彈簧、米尺、彈簧測力計、天平</p><p><b>　　b．試驗方案</b></p><p>　　先用米尺測出彈簧的原長并用天平測量彈簧的質量，再用彈簧測力計水平將彈

9、簧拉伸至不同的長度，算出其勁度系數。將彈簧懸掛起來，待其靜止后測量其長度得到彈簧的伸長量。</p><p>　　由于伸長量過小難以測出，我們決定將若干個相同的長彈簧進行串聯從而增大質量并減小勁度系數。</p><p>　　C．實驗結果（每組均由五個相同的彈簧串聯而成）</p><p>　　將其懸掛后測得長度如下（g取為9.8）：</p><p&g

10、t;　　實驗結論：可見，在誤差允許范圍內（米尺的精確度不足）計算結論與實驗結果吻合。</p><p><b>　　掛著物體水平運動</b></p><p>　　如上圖所示，水平面光滑，彈簧連著一個質量為M的滑塊作勻加速直線運動，拉力的大小為恒定值F，現分析其伸長程度。</p><p><b>　　進行理論分析計算</b>&

11、lt;/p><p>　　仍然使用前面的等效代替法進行計算</p><p>　　先計算質心到彈簧端點的距離：</p><p>　　則端點到質心的等效勁度系數：</p><p>　　則彈簧伸長的長度為：</p><p>　　利用微積分算法進行計算：</p><p>　　與上一個情況的思路相似進行計算：&

12、lt;/p><p>　　則D處微小彈簧伸長:</p><p><b>　　則</b></p><p>　　思考：我們可以看出，兩種算法的計算結果是相同的，這就是說，只要加速度是一定的，彈簧各處受力便和位置成線性關系，無論是否掛有重物，均可以用質點系及質心的相關知識將其解出。</p><p>　　利用實驗進行結果驗證</

13、p><p>　　由于在這種情況下，彈簧處于運動之中，表面摩擦力不能忽略，而且伸長的長度較小，我們無法準確測出，以現有實驗條件無法較為準確的進行實驗。</p><p>　　應用：探究水平狀態(tài)彈簧振子的周期</p><p><b>　　理論計算</b></p><p>　　如上圖所示，地面光滑，左端固定，下面嘗試解其振動的周期：

14、</p><p>　　彈簧單位長度的質量為</p><p>　　我們分析彈簧振子，彈簧上各部分可看作與A的振動同相，對距離固定點的一小段彈簧，其速度可以表示為.</p><p>　　使用能量守恒進行分析：</p><p>　　總的機械能由3部分組成：振子的動能、彈簧的勢能、彈簧的動能，其中：</p><p>　　則振子

15、的總機械能為：</p><p>　　其中系統(tǒng)機械能守恒，因此有，即：</p><p><b>　　由上式子可以得到：</b></p><p>　　上式即為簡諧振動的方程，由此可以得到振動的圓頻率為：</p><p><b>　　由此得其周期為：</b></p><p><

16、;b>　　實驗驗證</b></p><p><b>　　實驗器材</b></p><p>　　彈簧、小車（不同配重）、天平、閃頻攝像機、秒表</p><p><b>　　實驗方案</b></p><p>　　我們采用如上圖所示的裝置進行實驗，考慮到應該盡可能減小阻尼，我們于是采用了

17、較為光滑的地面和小車進行實驗，因為滾動的阻力很小。將彈簧拉伸后使其振動，借助閃頻攝像機測出其運動周期。</p><p><b>　　實驗數據如下</b></p><p>　　我們對組成彈簧1的一節(jié)小彈簧（m=23.0g,k=2135N/m）進行實驗</p><p><b>　　結論</b></p><p

18、>　　可以看出，在誤差允許的范圍之內實驗結果和計算結果吻合。</p><p><b>　　課題完成感想</b></p><p>　　我國的應試教育使得我們在中學階段很少有機會能夠自己提出一些問題并解決之，但大學給我們提供了這樣的平臺，學習了高等數學以及更為深入的物理，我們有能力去解決一些生活中的物理問題，上述課題雖然你不是生活中常見問題的研究，但它很有代表性，我