第二章極限習題及答案函數的連續(xù)性

1、分段函數的極限和連續(xù)性分段函數的極限和連續(xù)性例設?????????????)21(1)1(21)10()(xxxxxf（1）求在點處的左、右極限，函數在點處是否有極限？）xf(1?x）xf(1?x（2）函數在點處是否連續(xù)？）xf(1?x（3）確定函數的連續(xù)區(qū)間）xf(分析：分析：對于函數在給定點處的連續(xù)性，關鍵是判斷函數當時的極限是）xf(0x0xx?否等于；函數在某一區(qū)間上任一點處都連續(xù)，則在該區(qū)間上連續(xù))(0xf解：解：（1）1li

2、m)(lim11??????xxfxx11lim)(lim11??????xxxf∴1)(lim1??xfx函數在點處有極限）xf(1?x（2）)(lim21)1(1xffx????函數在點處不連續(xù)）xf(1?x（3）函數的連續(xù)區(qū)間是（0，1），（1，2））xf(說明：說明：不能錯誤地認為存在，則在處就連續(xù)求分段函數在分界點)1(f）xf(1?x的左右極限，一定要注意在分界點左、右的解析式的不同只有0x才存在)(lim)(lim)(li

3、m000xfxfxfxxxxxx??????函數的圖象及連續(xù)性函數的圖象及連續(xù)性例已知函數，24)(2???xxxf利用函數圖象判定方程是否存在實數根利用函數圖象判定方程是否存在實數根例利用連續(xù)函數的圖象特征，判定方程是否存在實數根01523???xx分析：分析：要判定方程是否有實根，即判定對應的連續(xù)函數的圖象是0)(?xf)(xfy?否與x軸有交點，因此只要找到圖象上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可解：解：設，則是R上

4、的連續(xù)函數152)(3???xxxf）xf(又，因此在內必存在一點，使，所以038)3(1)0(?????ff??03?0x0)(0?xf是方程的一個實根0x01523???xx所以方程有實數根01523???xx說明：說明：作出函數的圖象，看圖象是否與x軸有交點是判別方程是)(xfy?0)(?xf否有實數根的常用方法，由于函數是三次函數，圖象較難作出，因此152)(3???xxxf這種方法對本題不太適用函數在區(qū)間上的連續(xù)性函數在區(qū)間上

5、的連續(xù)性例函數在區(qū)間（0，2）內是否連續(xù)，在區(qū)間上呢？24)(2???xxxf??20分析：分析：開區(qū)間內連續(xù)是指內部每一點處均連續(xù)，閉區(qū)間上連續(xù)指的是內部點連續(xù)，左點處右連續(xù)，右端點處左連續(xù)解：解：（且）224)(2?????xxxxfR?x2?x任取，則200??x)(2)2(lim)(lim0000xfxxxfxxxx???????∴在（0，2）內連續(xù))(xf但在處無定義，∴在處不連續(xù))(xf2?x)(xf2?x從而在上不連線)(