信息與計算科學畢業(yè)論文數學與哲學之我見

1、<p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p><b>　　數學與哲學之我見</b></p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級

2、 信息與計算科學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要<

3、/b></p><p>　　數學和哲學有著極為悠久的歷史, 早在很久的時候, 就有人認識到: 假如我們的生活失去了哲學, 那么我們就不能認識到數學的深度; 假如我們的生活失去了數學, 那么我們就不能認識到哲學的深度. 數學與哲學就是這樣, 彼此都不能分離. 對于哲學的認識, 我們知道, 它是關于人類社會常識、自然科學以及思維常識的認識與研究, 作為一門科學, 我們用它來考察這個世界的根本特質及客觀規(guī)律; 然

4、而, 作為哲學不可分割的一部分, 數學扮演著研究數量存在的關系和目前現實的世界空間形式的角色. 數學與哲學彼此相依, 作為方法論, 哲學向數學提供了指導作用, 與此同時數學也時刻地影響著我們所認可的一些觀點, 包括我們的人生觀、世界觀. </p><p>　　當數學對那些所進行考察的對象做出了量的規(guī)定時, 眾多非常深刻的哲學意義同時也蘊涵在數學中的一些非?；镜母拍钪? 數學與哲學向來都是不可分的, 互相聯系

5、, 互相發(fā)展的, 通過歷史的見證, 我們得知數學的發(fā)展時刻經深受哲學的影響, 與此同時數學又更為深刻地, 不斷的影響著哲學的深入發(fā)展. 本文就分別從數學的發(fā)展在哲學中的滲透及哲學的發(fā)展對數學的影響探討了它們兩者的關系.</p><p>　　關鍵詞: 數學; 哲學; 發(fā)展</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　

6、The relationship between mathematics and philosophy has a long history. A philosopher said, without mathematics, we cannot understand the philosophy deeply. Philosophy is about social, natural and thinking knowledge’s ge

7、neralization and summary. It is the science which reseachs the essence and regulation of the whole world; Mathematics is the specific science which researchs quantitative relation and the real world space form. Philosoph

8、y provides the methodology basis to mathematics, while mathe</p><p>　　When math make the unitage to the researching object, many profound philosophical significance also contain some concepts in mathematics.

9、 Mathematics and philosophy are always inseparable, the development of math is influenced by the philosophy all the time. Meanwhile, mathematics deeply influence the development of philosophy. This paper discusses the re

10、lationship between development of mathematics and philosophy according to the interaction to philosophy and mathematics.</p><p>　　Key words: Mathematics, Philosophy, Development</p><p><b>

11、　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractIII</p><p><b>　　1 前言1</b></p><p>　　2 數學對哲學的滲透2</p><p>　　2.1數學的前進過程, 深化了對哲

12、學基礎概念的理解2</p><p>　　2.2數學的發(fā)展—合情推理, 發(fā)現邏輯的存在模式4</p><p>　　2.3數學的不斷發(fā)展改革了科學的思想觀念7</p><p>　　2.4 數學發(fā)展促進了哲學思想的發(fā)展8</p><p>　　3 哲學對數學的影響11</p><p>　　3.1在世界觀中, 哲學為數

13、學指引前進方向11</p><p>　　3.2哲學作為一種方法論, 為數學提供了杰出的探索工具和認識工具11</p><p><b>　　4 小結14</b></p><p><b>　　參考文獻15</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p&g

14、t;<b>　　1 前言</b></p><p>　　哲學, 直觀得表現出對這個世界的認識是社會文化, 自然科學, 思維結構的囊括與衍生分析, 是論點和對世界感官的結合思想, 是社會意識形態(tài)的具體表現形式, 是根據哲學的世界觀和方法論為根本內容, 是以追求世界的本質, 本源, 共性與絕對, 終極的形而上學為形式的社會科學[1]. 它與自然科學的關系是辨證統(tǒng)一的, 然而, 它們之間又是有所區(qū)別

15、的. 說它們辯證的統(tǒng)一, 因為是它們探討的對象都是不依存與世界且獨立存在的外在條件. 而它們存在的差異性僅在于: 哲學闡述的是彼此相同的事物, 而同時它也存在于客觀物質世界中, 那些運動的普遍形式而存在的相關性以及一直存在的規(guī)律. 而自然科學則都是以世界中所存在的相對領域為它的探討目標, 并且研究物質中的一種運動形式的異于其他的一些規(guī)律; 由此, 我們可以知道, 哲學與科學之間的關系是互相制約, 互相作用, 并且相互間不可變化的. &l

16、t;/p><p>　　數學, 是研究空間形式和客觀世界數量關系的一門自然科學. 它不僅向我們提供了一些重要的研究方式和計算方法, 并且, 它還有著科學的語言, 想象的空間, 與此同時, 它更是建立最重要的辯證唯物的主義哲學的基礎科學其中之一[2]. 數學還有著精煉的思想內涵, 創(chuàng)新的方式方法, 緊密的邏輯推理能力, 簡單的操作手法, 以便闡明細枝末節(jié), 充實其探討對象, 并揭示一般性存在的真實規(guī)律, 從而使我們形成了

17、豐富的完整的學習體系. 數學印證了原有的基本問題或關于哲學方面的對象, 同時, 數學有著十分緊密的的邏輯思維, 豐富的空間想象能力, 十分普遍的實際操作能力等重要特征, 哲學與自然有很多地方積極相似, 因此, 這也歸屬了哲學和自然將一定有著甚是緊密的聯系. 本文對數學與哲學之間相互聯系進行進一步的思考及研究, 同時, 對其進行深入研究和探討. </p><p>　　2 數學對哲學的滲透</p>&l

18、t;p>　　2.1數學的前進過程, 深化了對哲學基礎概念的理解</p><p>　　美國數學家魯賓遜1960年創(chuàng)立了實數的非標準模型, 其具體描述是: 在數學中利用現代數理邏輯把通常實數結構擴張為包括無窮小數與無窮大數的結構而形成的一個新分支. 這一模型, 給予了無限小和無限大極為嚴格的理論依據, 同時也為微積分提供了更為堅實的理論基礎, 因此, 在此基礎上, 創(chuàng)建了一個全新的關于微積分的理論——非標準分析

19、[3]. </p><p><b>　　圖1: 非標準分析</b></p><p>　　我們在非標準分析中, 通過建立起一個非標準實數坐標軸, 同時通過引入一個新的概念即單子的概念, 這樣, 我們就能使非標準實數坐標軸變成一個空間, 同時它也是關于層次結構的空間. 在這個空間中, 可以得知, 單子的外面所表現出來的是不同的數量層次之間所存在的質的差異; 而在單子的里面

20、所包含的是那些無窮小量, 它們之間僅僅是量上的區(qū)別, 因此, 它的比值并不是無限的, 它是有限的, 其運算方法與性質和單子外面的那些普通的實數并無多大差別. 而在非標準分析理論還沒有建立之前, 人們在討論 “質量互變規(guī)律” 中的 “量” 時, 他們都還沒有意識到無限數量的變化引起質變, 而在非標準分析的建立下, 為表述出這樣一個數學模型, 它是由 “質量互變規(guī)律” 在那些 “無限的領域” 具體表現的. 于是, 可以得知, 通過對非標準分

21、析創(chuàng)立, 使得 “質量互變規(guī)律” 得到了進一步的豐富, 同時, 哲學知識也進一步得到了豐富. </p><p>　　數學家托姆（R. Thom）發(fā)現, 在自然界中, 以及社會的各個領域中都大量的存在著總多不連續(xù)的, 變化的現象, 于是, 我們可以運用數學中微分映射中的奇點理論, 替這些客觀存在的現象構造一個數學模型, 由此來來預測研究并且控制這些客觀的對象, 這恰恰為突變論的由來提供了堅實的理論依據[4]. &l

22、t;/p><p>　　眾所周知, 突變理論的主要工具是拓撲學, 其主要基礎又是憑借著結構的相對穩(wěn)定性定理, 并以此得到了一個嶄新的判別突變原則, 而所謂飛躍的原則, 就是在那些極為嚴格的控制條件下, 假如在質變中所經歷的那些中間過渡態(tài)是相對穩(wěn)定的, 則我們就將它稱作為一個漸變的過程. 我們來打個比方, 假設要砍一棵樹, 如果從樹頂開始一段一段地去砍這棵樹, 那么整個過程就是結構相對穩(wěn)定的漸變過程. 如果從樹根開始砍,

23、 那么砍到一定的程度, 就會破壞這棵樹的結構的相對穩(wěn)定性, 那么樹就會立刻倒了下來. 可以得知, 我們所破壞的這種結構穩(wěn)定性就是突變, 就是飛躍的過程. 再來打個比方, 我們拿社會進行變革的角度來看, 從腐朽的封建主義向較為先進的資本主義過渡, 不同國家所采取的過渡方式各不相同, 大都國家所采用的方式是暴力來實現制度的過渡, 而英國所采取的方式就截然不同, 它的君主立憲制是一種改革的模式, 憑借著漸變的方式來實現的. 面對這些結構所表述

24、一些穩(wěn)定的現象以及一些不穩(wěn)定的現象, 突變理論作了一系列定義, 該定義是用勢函數的 “洼存在” 用來表述它的穩(wěn)定狀態(tài), 而用 “洼取消” 用來表述它的不穩(wěn)定狀態(tài),</p><p><b>　　圖2: 突變模型</b></p><p>　　突變理論已經向我們提出了眾多的數學模型, 用來解釋社會現象和自然界中所發(fā)生的那些間斷的變化形式, 用來表述那些不同的現象從形態(tài)的某種

25、形式毫無預料地飛躍到與本身毫不相同的其他的形式的原因. 就像房屋的倒塌, 玻璃的碎裂, 家庭的破壞, 生存模式的改變, 種類的變異以及物種的進化. 依照突變理論所定義的, 社會現象和自然界中的那些眾多的不連續(xù)的事情, 都能通過一些特殊的幾何形狀表述出來. 突變理論得出, 那些由一維空間以及三維空間的四個因子所控制下的種種突變, 存在著7種不同的突變類型, 即折迭突變, 尖頂突變, 燕尾突變, 蝴蝶突變, 橢圓臍形突變, 雙曲臍突變以及拋

26、物臍形突變.[5]</p><p>　　打個比方, 如果用兩個手指捏住一段有富有較大彈性的鋼絲, 使它向上不斷彎曲, 在此基礎上, 再用力壓鋼絲使它變形, 當達到鋼絲所能承受的一個臨界程度時, 它會突然的向下彎曲, 并且失去了本應具有的彈性. 這樣簡單的一個小實例, 就是我們日常生活中經常見到的一種突變的模型, 它存在著兩個穩(wěn)定的狀態(tài), 即向上彎曲和向下彎曲, 而對這些狀態(tài)所決定的因素是: 其中一個是鋼絲的壓力（

27、垂直的方向）, 另一個則是手指所夾的力（水平的方向）, 可以利用尖頂突變模型很好的來表達. 在突變模型中, 存在著一些特殊的模型, 它們能夠在不同質態(tài)的情況下彼此互相轉化. 而在自然界中, 還存在著一些不可逆的過程, 就好像, 死亡是一種特殊突變, 只能是活人變成死人, 而死人變成活人這種情況是不存在的. 對于這一類過程可用燕尾突變解釋. 因此, 可以得知, 突變理論是運用精確而形象的數學理論, 及數學模型來表述那些質量互變的過程. &

28、lt;/p><p>　　由上面的種種實例可以表明, 在某些特定的情況下, 質變的表現形式多種多樣, 它可以是漸變的形式, 同時它也可以是突變的形式. 所以, 我們可以對此給予一個特定的條件, 改變它的某些控制的因素, 那么存在著一個漸變的過程能轉化成飛躍的形式; 同理可得, 存在著一個飛躍的過程也可以通過對它給予指定條件, 進而轉化成飛躍. 突變模型還向我們展示了: 在奇點（質變點）附近的一切事物所具有的狀態(tài)的變化,

29、 既存在著各種各樣的可行性, 而且也存在著不確定性, 隨機性. </p><p>　　怎樣很好地把握質變所需要的條件以及多樣性的形式, 對于良好的理解和運用 “質量互變的規(guī)律”, 了解以及創(chuàng)新整個世界有著極為重要的指導作用. 很好的認識奇點（質變點）這個特殊存在的點, 并且盡自己一切的力量, 使得事情向我們所希望得到的結果靠近. 這是運用 “質量互變規(guī)律” 來改造客觀世界的提供的方法論.</p>&

30、lt;p>　　2.2數學的發(fā)展—合情推理, 發(fā)現邏輯的存在模式</p><p>　　合情推理是波利亞的 “啟發(fā)法”（heuristic, 即 “有助于發(fā)現的”）中的一個極為代表性的一個推理模式. 波利亞發(fā)現, 我們可以通過對一些問題的解決過程, 特別是對那些已經存在的成功的實踐經歷的進一步學習研究, 得出了能夠解決所有問題的 “萬能方法”在現實生活中是不可能存在的; 每當人們解決問題的時候, 總是需要針對具

31、體面對的情況, 時不時地向自己提出一些發(fā)人深省的問題, 而這些問題往往是包含了啟發(fā)性的意義, 用來開發(fā)和促進人們空間想象能力[6].</p><p>　　波利亞通過科學的思考及研究, 把推理分成了兩種模式, 其一為論證推理; 其二則是合情推理. 論證推理, 在數學中運用極為廣泛, 它不是偶然性的推理, 它往往飽含著嚴密的邏輯性和嚴格的標準, 我們的各個推理想法都必須符合該邏輯規(guī)則. 相反的, 合情推理則以另一種形

32、式存在著, 它正是一種或然性的推理, 它的結論往往超越了前提所包容的范圍, 伴隨著猜想的成分, 所以推理所得到的結論不一定是正確的, 然而合情推理具有著探索和提供證明,猜測和發(fā)現結論的思路和方向的作用. 實際上, 論證推理所存在的作用極為廣泛, 而最為主要的是用來解釋與肯定那些我們所學習到的科學文化知識. 歸納推理和類比推理都是一種推理, 這種推理是合情推理, 它根據已經存在的事實條件, 經過仔細地觀察, 認真地分析, 不斷地聯想, 最

33、后進行總結歸納, 類比推理, 之后再得到自己猜想的一種推理[7]. </p><p>　　所謂歸納推理, 就是將個別性的知識進行歸納, 從而推論出一些簡單的結論的推理. 例如: 銳角三角形中所有的內角和都是; 直角三角形中所有的內角和也都是; 鈍角三角形中所有的內角和同樣是; 通過分析可以得出, 銳角角三角形, 直角三角形以及鈍角三角形它們的集合組成了全部的三角形; 因此, 可以得出一個結論: 所有三角形的內角和

34、都是. </p><p>　　以上的例子從銳角三角形, 直角三角形以及鈍角三角形所有的內角和分別都是這些個的別性質, 推導出了 “所有三角形的內角和” 都是這樣的一般性結論, 這就是歸納推理. </p><p>　　類比推理是根據兩個不同對象在某些方面的相似之處, 推測出這兩個對象在其他方面也可能有相似之處. </p><p>　　比如我們可以利用平面向量的性質類比

35、得空間向量的性質, 見表1. </p><p><b>　　表1</b></p><p>　　再如, 圓和球, 它們在形狀上和概念上, 都有類似的地方, 即具有完美的對稱性, 都是到定點的距離等于定長的點的集合, 見表2.</p><p><b>　　表2</b></p><p>　　通過眾多的實例

36、可以得到, 合情推理模型存在著極為普遍的適應性, 是科學發(fā)現邏輯的一般模式. 恩格斯認為: 思維和存在的關系問題是哲學尤其是近代哲學所關心的重大的基本問題. 而這個問題總共包括了兩個方面, 第一個是思維與存在究竟哪一個為本原的問題; 第二個是思維和存在究竟有沒有同一性的問題, 也就是正確反映了我們的所具有的思維到底能不能認識現實以及正確地反映當代現實世界的問題. 而我們以邏輯哲學這樣的一個角度來研究時, 它存在的重大的基本問題就是客觀現

37、實與邏輯的關系的問題.[8] 目前, 我們已經清楚得到了, 數學的快速發(fā)展有助于我們發(fā)現邏輯的模式, 同時為解決客觀現實提供了強有力的保障. 因而, 其對哲學發(fā)展的作用是顯而易見的. </p><p>　　2.3數學的不斷發(fā)展改革了科學的思想觀念</p><p>　　在研究數學問題時遇到一種特別放入思想方法及一種特別成就的的獲得, 時常會為科學思想方法注入無限的青春動力, 從而發(fā)生科學思想

38、方法的重大改變. 此類的事例舉不勝舉, 例如美國著名的自動控制論研究者, 工程科學院院士扎德在1965年研究的模糊數學就是其中較為重要的一個案例. </p><p>　　模糊數學就是將不清楚的現象和事物作為探討的東西, 經典集合論與模糊集合論, 他們之間最本質的差異在于他們介于生存的基礎想法的重大意義則不盡不同[9]. 眾所周知, 在經典集合當中, 判定一個元素是否屬于另一個集合, 存在的只有兩種可能, 分別是屬

39、于或者不屬于, 二者必須選擇一個, 它的特征函數的基本邏輯思維極為單一, 即二值邏輯, 它僅僅是對事物 “非此即彼” 做了相對的闡述; 而模糊集合則不同了, 它是把特征函數描述進而引申到到隸屬函數, 也就是說, 這時, 我們可以取[0, 1]之間的的任何實數值, 其邏輯基礎變?yōu)榱硕嘀颠壿? 它擴展為了對事物 “亦此亦彼” 狀態(tài)的作出更為具體的分析. 但是, 有一點, 我們不容否認, 經典集合與模糊集合是有著千絲萬縷的關系.</p&

40、gt;<p>　　當隸屬函數的集合僅包含這兩個數時, 這個時候的隸屬函數和經典集合中的特征函數就不存在差別了, 此時所呈現出來的集合就是通常的經典集合. 當我們把經典集合的特征函數看做是隸屬函數時, 此時經典集合也可以看成是模糊綜合. 因此, 可以得出, 經典集合是特殊的模糊的綜合, 并且模糊綜合是經典集合的進一步衍生. </p><p>　　其具體實例描述是這樣的: </p><

41、;p>　　圖3 經典集合描述: 特征描述</p><p>　　當 非此即彼, .</p><p>　　圖4 模糊集合的描述: 隸屬函數</p><p>　　當時, 亦此亦彼, , 隸屬度刻畫元素屬于某集合的程度.</p><p>　　扎德為人類社會科學發(fā)展作出了巨大的貢獻, 他還補充了關于模糊集合的并, 補, 交等計算方法, 并

42、且實際證明了它們的運算規(guī)律是可行的, 在進一步的研究中, 為實現經典集合和模糊集合的有利替換, 使得能把模糊集合中的轉化困難可以通過替換, 變?yōu)榻浀浼现械睦щy最終處理, 于是他據此進一步深化了模糊集合的表現定理, 分解定理和擴張定理, 最終將經典集合中的導向拓寬到模糊集合的中間, 并成為研究模糊集合的必不可少的指導方向. </p><p>　　模糊理論發(fā)展至今已接近三十余年, 形式不斷更新, 它的內容也隨之變得

43、豐富多彩, 從實際真實視角來分析, 我們能在模糊關系, 模糊數, 模糊概率, 模糊圖, 模糊邏輯, 模糊判斷, 模糊識別以及模糊控制等范圍看到其身影; 而從實際操作視角來分析, 它早已融入了化學, 物理學, 生物學, 象學, 醫(yī)學, 氣地質學, 人文科學, 社會科學, 控制論, 系統(tǒng)論, 信息論與人工智能. 種種現象說明, 模糊數學已經為數學科學注入不同的人文氣息, 為人類文明進步作出巨大貢獻, 是科學思想史上的又一次動人心弦的改變.

44、現在, 了解與操作模糊數學早已變成為一種新的趨勢, 它是體會萬物, 了解世界的一個必不可少的方式方法. </p><p>　　2.4 數學發(fā)展促進了哲學思想的發(fā)展</p><p>　　數學對那些全新范圍的探討研究以及一些重要成果的發(fā)現, 對人類社會的影響極其重大, 它可以引起一些非常重大的革命, 既可以在數學思想上, 也可以在哲學思想上. 此類例子數不勝數, 其中歌德爾的不完備性定理就是很

45、好的佐證. </p><p>　　眾所周知, 不完備性定理可以分為兩種, 第一不完備性定理, 它的描述是這樣的: 任意一個包含算術系統(tǒng)在內的形式系統(tǒng)中, 都存在著這樣一個命題, 這個命題在此系統(tǒng)中既不能夠被證明也不能夠被給予否定. 而第二不完備性定理則是: 任意一個包含算術系統(tǒng)在內的形式系統(tǒng), 它自身不能夠證明自己的無矛盾性. 由此, 我們從哲學上看, 這定理十分清晰的表明了相應的方法所存在的局限性, 而從數學的

46、角度來看, 又十分清楚的表明了認識所存在的局限性,.[10] </p><p>　　在現實的客觀世界中, 存在著各種互不相同的層次的結構, 而各種不同的層次的結構時常會發(fā)生纏繞或混淆. 就像那些不可判定的命題, 即是由歌德爾不完的備性定理構建而成的, 所要表達的就是自己是不能夠被自己證明的, 而這, 恰恰就是是層次所混淆的產生的結果; 但是, 通過時間的驗證, 這個定理開始逐漸被人們所接受, 并開始運用于實踐當中

47、, 因此我們應該轉換自己的思想, 重新的去看待那些層次相互混淆的問題. 為了能夠更好的認識多層次之間的客觀存在的事物, 構建多層次的了解的結構是必須的; 同時, 又因為那些客觀存在的事物中的一些互不相同的層次往往是彼此混淆的, 于是人們將注意力轉移到 “跨越不同層次間不同的溝通問題” 上去.</p><p>　　哥德爾不完備性定理的運用極為廣泛, 舉例來說, 我們對數學進行進一步的探討研究時, 會認為組成集合的一

48、個個體, 我們稱它為 “元”, 但是 “元” 之外的那些特別的屬性, 比如說狗的屬性, 牛的屬性, 以及數的屬性, 我們都不去做過多的考慮. 因此, 我們就把一個集合抽象成了, 而它所包含的 “元”, 則被抽象成了. </p><p>　　我們可以得知: 屬于. 同時, 我們也可以明確: 不可以是自身的一個元, 即 不可以屬于, 可以得知這個規(guī)定還是有理可依的, 舉例來說, 我們所有的課本所構成的集合不是課本,

49、因此所有課本所構成的集合并不可能是此集合中的一個元. 而的其中一部份同樣也可由自身構造出來一個集, 而它就是我們所稱的的 “子集”. </p><p>　　而我們有一種特殊情況, 就是屬于時: 可以與相等, 同時也存在著一種特殊情況, 就是當它沒有元素時, 這就是我們所說的 “空集”, 我們把這樣兩種特殊的情況叫作的 “平凡” 子集. </p><p>　　給出一個 “對

50、等” 的定義: 假如,為兩個互不相同的集, 要是,之間彼此能夠互相建立起一一對應的關系, 那么就可以得出一個結論: 即對等于.</p><p>　　相反的, 同樣可以得出一樣的結論. “對等” 在不同的集之間, 被視為最為基本的關系. 如果要使兩集之間對等, 且與都僅包含有限個元, 則需要的條件是: 當且僅當兩個集合的元的所具有的個數相等. </p><p>　　假如與集合都含有無限的元素

51、, 那么它們之間彼此也能建立起對等的關系, 就好像兩個無限的數列與, 即: : 彼此之間就能夠建立起一一對應的關系, 所以, 當我們證明了對等于時, 則就證明了, 任意兩個不同的無限數列的集合彼此都能對等. </p><p>　　但是, 并不是所有無限集之間都能對等. 例如: 在實數軸中, 由到之間所包含的所有有理數, 它的集合為, 再假設到之間所包含的所有的無理數, 它的集合為, 那么可以得到: : 與彼此

52、不對等; : 與中的一個非平凡的子集對等, 有了以上的條件, 結合所得到的結論, 可以得到是小于的. : 與一個被進行無限大的推廣的自然數序列數目對等. 可以得到上面所表述的有 “勢” 且為可數勢, 這就說明, 所包含的元的數目能夠一個接著一個地計數, 即使我們不可能全部的數得完. 因此, 可以得到, 那些由自然數序列所構成的集都包含著可數勢, 且所有的有限的集合同樣包含著可數勢, 由前面所得到的. 得到有理數集, 同樣包含著可數勢.

53、 </p><p>　　接下來由的結論我們可以得知, 無理數所包含的集有著比可數勢大的勢, 這個勢被稱之為 “不可數勢”!</p><p>　　由此, 我們可以得到, 不確定性是人類認識的形式邏輯思維本身固有的. 即使是純粹數學也無法徹底達到的確定性, 進一步, 數學概念和理論如果結合于人們的實際經驗和科學觀察, 就會產生更大的不確定性. 因而, 在任何認識中絕對的確定性是沒有的, 這又與

54、哲學中的 ”矛盾普遍性” 不徑相同, 即: 矛盾存在于世間所有的事物中, 并且貫穿于所有事物發(fā)展過程的開始與結束. 而我們又清楚的認識到, 矛盾是所有事物發(fā)展的最為根本動力, 它不斷地推動著事物不停向前發(fā)展. 因此, 哥德爾不完備性定理不僅僅使得數學自身得到了良好地發(fā)展, 而且它更促進了哲學思想進一步的, 良好地發(fā)展.</p><p>　　3 哲學對數學的影響</p><p>　　3.1在

55、世界觀中, 哲學為數學指引前進方向</p><p>　　眾所周知, 人類所認識世間一切事物的過程是循序漸進的, 是需要將實踐作為其最為堅實的后盾的. 因此, 在人類的那些所具有的科學的方法, 科學的手段, 還沒有被真真切切的時候, 他們無需迷茫, 因為這個時候, 哲學所具有的作用就能夠在我們面前很好的體現了出來, 它作為一個世界觀, 往往包含著極強的前瞻性, 這種前瞻性對我們提供的幫助是不言而喻的, 它會給我們提

56、供指導, 使我們更加準確的去定位客觀的事物, 并且使我們能夠正確的把握科學的發(fā)展方向[11]. </p><p>　　哲學所研究的首先應當是科學的某些尚未研究領域, 哲學應當是人類充分了解世界, 充分改造世界的先導. 它經常對科學的不斷發(fā)展提出極為先見性的結論. 通常情況下, 一門現代科學發(fā)展的初始階段, 它的最初了解往往是以哲學這種形式所出現的. 哲學家所探討元素的時期往往在化學家進行研究元素的前面, 哲學家所

57、探討原子的時期而又在物理學家進行研究原子的前面, 哲學家所探討連續(xù)性與無限的時期更是在數學家進行研究連續(xù)性與無限的前面. 然而當現代科學真正的打算去研究哲學家之前所探討過的東西時, 哲學選擇了沉默. 它靜靜地傾聽著所有現代科學的探索與發(fā)現, 并時刻準備提出一些新的見解. 哲學, 它給我們的感覺更多的扮演著望遠鏡角色. 當我們到達某個特殊的地方時, 它會被用于觀察遠處, 探尋前方的一切, 而不會停留在遠處. 數學則恰恰相反, 因為它是一門

58、最容易獲得豐富事實的科學, 踏入成熟的科學, 并且可以提出具有周期性的假設的現代科學. 它就像是一架顯微鏡, 只有把東西放到載玻片中, 將它切成一片又一片, 并且經過種種特殊地處理, 才能觀察它, 研究它. 數學必須有著各種各樣的具體的學科作為它的創(chuàng)造條件, 這</p><p>　　偉大的德國數學家希爾伯特曾經提到, 基于康德的哲學觀念, 他的無限形式主義的思想才得以出現. 而后, 羅素又對哲學進行分析, 并且在

59、此基礎上, 堅持數學就是邏輯所在的朝氣蓬勃的青春年華, 邏輯就是數學所在的暮更之年的歲月年華. 由這個意義出發(fā), 其本質意義, 哲學即是數學茫茫大海中那明亮的導航，指引著方向和路線.[4]</p><p>　　數學, 作為一門表示數字關系及幾何空間的學科, 它研究的事物是人類社會的有規(guī)律的運動, 因此它的終結者毋庸置疑一定是唯物的. 數學的對立者是人們想象的抽象性思維所得出的最終結論, 它們是無法超脫感性事物并獨

60、立于萬物而存在世界的. 現在, 數學雖是表面拘泥于形式的, 但它決不是簡單表面就得出的形式主義. 數學在內容上與現實的生活有著極為密切的關系, 因此, 數學想象的部分必定得依存于現實世界, 那些抽象的數學知識在當今現實的生活中基本上都能找到匹配自己的原型的一份子. 例如, 數學中平面幾何的全等內容, 它所反映的, 就是把兩個實際存在一份子互相粘合在一起的一種更為具體的的演變程序; 而對于微積分的本質思想, 它所印證的就是在自然界中不斷靠

61、近卻永遠不會接近的結果. 然而, 數學一些外在的表現方式對那些現實存在的的客觀事實來說, 仍有著一定的獨立性. 數學的科學理論通常僅只通過內在主要因素而融會貫通, 精煉升華, 方可實現萬物統(tǒng)一并且相互和諧穩(wěn)定發(fā)展、含蓄卻又發(fā)人深省的科學理論. 然而, 在此基礎上我們應該清楚地了解到, 形式內容脫離于現實生活這種情況僅僅只是暫時的, 像這樣由上而下的前進</p><p>　　辯證唯物主義的興起, 彌補了唯心主義的缺

62、陷和古代樸素唯物主義的限制性, 它是科學的方法論和世界觀. 近50年來, 數學的前進凸顯出兩個不同的趨勢, 分別是高度分化但同時又高度綜合. 分化的愈加激烈, 則綜合就愈加重要, 這無疑是對立統(tǒng)一的. 因此, 在數學問題的探討過程中如果能夠自發(fā)地將其做為基礎指引, 那么, 在此研究中就極有可能降低或減少單獨性和 不全面性, 不然, 未來數學的發(fā)展極有可能會走上不正的道路, 阻礙科技的發(fā)展. 在數學發(fā)展史上這樣的實例數不勝舉, 就像古希臘

63、人民情愿只使用 “嚴厲卻相對貧乏的窮竭法”, 也不愿意采用地基較為不穩(wěn)但卻有十分有實效的 “原子法”, 這也是因為他們受柏拉圖唯心主義的重大影響. 再如誕生非歐幾里德幾何學時, 因為康德哲學的深遠而又重要的影響, 這一偉大的發(fā)現遲遲不能被人接受, 就連大名鼎鼎的數學家高斯也不敢做任何相關評論. </p><p>　　綜上所述, 哲學對數學前進道路及作用是極其深遠的, 但是, 有一點, 我們必須加以權衡: 有指導意

64、義的正確的哲學思想很大程度上會敦促數學的發(fā)展是毋庸置疑的, 而寬泛的不正確的哲學思想同樣會阻擋數學的前進方向這一不爭的事實也是存在的. </p><p>　　3.2哲學作為一種方法論, 為數學提供了杰出的的探索工具和認識工具</p><p>　　從潛無窮小一實無窮小一潛無限與實無限相互交融, 無窮小方法經歷了曲折而又漫長道路. 潛無窮小方法這種思想方法是動態(tài)的, 而實無窮小方法這種思想方法

65、則是靜態(tài)的, 它們兩者的存在關系是辨證統(tǒng)一的. 當我們充分認識到了無限可分方法與無窮小量方法這兩種方法并不是一定對立的, 相反而言, 它們不但有著千絲萬縷的內在聯系, 并且它們兩者之間也是照相呼應，相輔相成的. 而且在一些特定的情況下, 彼此還可以相互轉借, 相互變化, 因此無窮小方法便發(fā)生了重大的轉折性的突破, 于是微積分的前提就由此而誕生了. </p><p>　　目前, 我們通過事實發(fā)現數學公理化的進展過程

66、中最有實效, 最顯著的一個成果之一, 就是從此沖破了經驗主義、教條主義哲學的束縛, 它讓我們有了明確地認識: 數學的基本概念并不需要都是具體化的. </p><p>　　再比如說: 借用內在規(guī)律的數學模型方法以及模型研究原型的功能特征, 在如今的社會上已成為解決人腦思維和科學技術等一系列問題的最為普遍以及最為重要的一種非常常用的方法. 它所表現出來的的主要特征是高度的形式化和抽象化. 問題隨之出現, 我們該如何掌

67、握和發(fā)現這種抽象結構形式所存在的規(guī)律性呢? 那就需要運用數學變換的方法了. 它是以辯證法作為思想基礎的: 無論任何事物都不可能是靜止的, 絕對的以及一直不變的, 它們是在不斷的進行著變并且發(fā)展衍生變化的. 在數學分析過程中，作為一個數學規(guī)律和數學模型, 它所組成的要素之間的彼此的聯系和彼此依存的方法形式不是一成不變的. 現在, 數學家們同樣是利用這種經常在變化的周期性, 來加強和鞏固自身在解決各種相對比較困難數學問題的反應能力, 并且不

68、斷的提升自己解決數學問題的敏捷度, 方法及手段. </p><p><b>　　4 小結</b></p><p>　　“我思, 故我在” 是笛卡爾哲學思想中最具代表性的命題, 可以說是整個笛卡爾哲學體系的基石.“我思, 故我在” 在整個笛卡爾哲學體系中有著非同尋常的意義, 是整個笛卡爾哲學, 是笛卡爾進行理性思考的第一原則, 最確切的真理, 第一真理.“我思, 故我在

69、” 幾乎成為了一條哲學公式, 而今, 筆者同樣從自己的立場出發(fā), 把自己的思想代換進 “我思, 故我在” 這一公式加以演繹. 得出數學與哲學是互為關聯, 相互印證的. 然而本文只是筆者簡單的將數學與哲學進行詮釋, 不乏存在著許多缺陷, 但我堅信, 數學和哲學, 不僅僅在過去有著極為密切的聯系, 而在現在, 將來也必定存在著極為密切的聯系. 這一點是無可否認的. 我們可以這樣認為, 哲學是一門極其博大精深的自然科學, 它雖然無法于實質存在

70、的有形的數學科學直面抗衡, 但它可以為數學中那些初出茅廬的新新科學分支的出生以及潛移默化的進行提供無條件的后背支持以及正確的指導方針. 在科學不斷發(fā)展的今天，由社會的和諧發(fā)展, 人民生活水平的提高, 同樣與數學和哲學的發(fā)展有著千絲萬縷密切關系. 相信在不久的未來, 數學和哲學必定有著無限的能量，在其需要的發(fā)</p><p>　　筆者將引用《從數學到哲學》中的一段話來重新闡述哲學與數學的關系: “我認為世間所有的科

71、學道理都蘊含著一個哲學總結, 其中社會科學中的哲學總結是認識論, 自然科學中的哲學總結是自然辯證法, 思維科學的哲學總結就是歷史唯物主義, 數學科學中的哲學總結就是數學哲學等等, 對全部的這些哲學進行有序總結后再分析, 我覺得人類知識的精華, 顯而易見就是馬克思主義的哲學. 可以說, 就此一個哲學最大分支體系, 即是以馬克思主義哲學為指導方針的重要且不可分割的一個科學體系. 現代科技的不段發(fā)展，然后通過哲學的概述, 就一定會進一步提升和

72、強化馬克思主義哲學.”[12]</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 林夏水. 論數學的本質[J], 哲學研究, 2000, (9): 66-70. </p><p>　　[2] 鄧宗琦. 數學家辭典[M]. 武漢: 湖北教育出版社, 1990. 26.</p><p>　　[3] 恩

73、格斯. 反杜林論[M]. 北京: 人民出版社, 1970. </p><p>　　[4] Russell. Principles of Mathematics[M]. Taylor and Francis, 1972.</p><p>　　[5] 王愛如, 劉福會. 漫談數學中的哲學思想[J]. 高等農業(yè)教育, 2005. 6（8）: 7-10.</p><p>

74、;　　[6] 郝寧湘, 郭貴春. 數學: 我們能夠對你說些什么[J]. 太原: 科學技術與辯證法,2004.21. 7-9. </p><p>　　[7] 恩格斯. 自然辯證法[M]. 北京: 人民出版社, 1972. 45.</p><p>　　[8] 張光遠. 近現代數學發(fā)展概論[M]. 重慶:重慶出版社, 1991. </p><p>　　[9] 哥德爾. 哥

75、德爾證明[M]. 上海: 上海人民出版社, 2002.</p><p>　　[10] 張祖貴. 數學與人類文化發(fā)展[M]. 廣州: 廣東教育出版社, 1995. 11.</p><p>　　[11] Maclane S. Mathematical Models: A Sketch for the Philosophy of Mathematics [J]. Amer. Math. Mon